Demuestre que $\dot{n_s}=-\kappa_s t$

Question

Encontré la pregunta en un libro de geometría diferencial mientras estudiaba. Esta pregunta me parece muy interesante. Así que por favor ayúdame a resolverla.

Demuestre que, si $\gamma$ es una curva plana de velocidad unitaria, $$\dot{\mathbf{n}}_s=-\kappa_s\mathbf t.$$

Sé que

$$\dot t =\kappa_s n_s$$ y $$\kappa =|\kappa_s|$$

Answer 1

Mira esto:

$\langle \mathbf n_s, \mathbf t_s \rangle = 0,\tag {1}$

de donde

$\frac{d}{ds}\langle \mathbf n_s, \mathbf t_s \rangle = 0, \tag{2}$

para que

$\langle \dot{\mathbf n}_s, \mathbf t_s \rangle + \langle \mathbf n_s, \dot{\mathbf t}_s \rangle = 0, \tag{3}$

y utilizando

$\dot {\mathbf t}_s =\kappa_s \mathbf n_s \tag{4}$

obtenemos de (3)

$\langle \dot{\mathbf n}_s, \mathbf t_s \rangle = -\kappa_s \tag{5}$

desde $\langle \mathbf n_s, \mathbf n_s \rangle = 1$ . Y como $\langle \mathbf n_s, \dot{\mathbf n}_s \rangle = 0$ y estamos operando en $\Bbb R^2$ podemos concluir que

$\dot {\mathbf n}_s = -\kappa \mathbf t_s. \tag{6}$

¡QED!

Espero que le sirva de ayuda. Hasta luego,

y como siempre,

¡¡¡Fiat Lux!!!