Prueba ese valor propio del producto de la matriz menor que 1

Question

Supongamos que se nos da una $M\times N$ matriz compleja $\mathbf{A}$ e una $N\times N$ real de la diagonal de la matriz $\mathbf{D}$ con un valor no negativo entradas en la diagonal. A través de simulaciones numéricas, me encontré con que los autovalores de a $\mathbf{B}$, que se define como $$\mathbf{B}=\mathbf{A}(\mathbf{A}^{\mathrm{H}}\mathbf{A} + \mathbf{D})^{-1}\mathbf{A}^{\mathrm{H}},$$ are no larger than $1$, where $(\cdot)^\mathrm{H}$ denota la matriz conjugada transpuesta. Cómo puedo probar que tal observación sostiene teóricamente? O hay alguna contra-ejemplo para mostrar que esta observación no siempre se cumple?

Me doy cuenta de que $\mathbf{A}(\mathbf{A}^{\mathrm{H}}\mathbf{A} + \mathbf{D})^{-1}\mathbf{A}^{\mathrm{H}}$ de las acciones de la misma no-cero autovalores como $(\mathbf{A}^{\mathrm{H}}\mathbf{A} + \mathbf{D})^{-1}\mathbf{A}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}$. Esto me motiva a considerar si podría enfoque de esta prueba a través de un límite superior para el mayor autovalor de la matriz producto, es decir, el producto de $(\mathbf{A}^{\mathrm{H}}\mathbf{A} + \mathbf{D})^{-1}$$\mathbf{A}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}$. Sin embargo, hasta ahora he ido a ninguna parte. Cualquier sugerencia será muy apreciada.

Answer 1

En primer lugar, permite reducir al caso $D=I$. Set $C:=AD^{-1/2}$. Entonces tenemos $$ UN^HA+D = D^{1/2}( D^{-1/2}^HABÍA^{-1/2} + I)D^{1/2} = D^{1/2}(C^HC+I)D^{1/2} $$ y $$ Un(A^HA+D)^{-1}A^H =D^{-1/2}(C^HC+I)^{-1}D^{-1/2}A^H = C(C^HC+I)^{-1}C^H. $$ La matriz $C^HC$ es Hermitian y positivo semidefinite, por lo tanto es diagonalizable con el real de los autovalores.

Deje $u,v$ ser vectores singulares de $C$ a un singular valor $\sigma\ge0$, es decir, $Cu = \sigma v$$C^Hv=\sigma u$. Entonces $(C^HC+I)u=(\sigma^2+1)u$ implica $(C^HC+I)^{-1}u =(\sigma^2+1)^{-1}u$ y $$ C(C^HC+I)^{-1}C^Hv=\frac{\sigma^2}{1+\sigma^2}v. $$ Por lo tanto, $v$ es un autovector de a $C(C^HC+I)C^H$ al autovalor $\frac{\sigma^2}{1+\sigma^2}\le1$. Como podemos elegir un ortonormales base de tales vectores singulares $v$, la demanda de la siguiente manera.

Si no te gusta trabajar con vectores singulares, entonces podemos hacer lo siguiente: Vamos a $x$ ser un autovector de a $CC^H$ al autovalor $\lambda\ge0$. Definir $u:=(C^HC+I)^{-1}C^Hx$. Entonces se mantiene $$ C(C^HC +I)u = CC^Hx = \lambda x, $$ lo que implica $Cu = \lambda x - CC^HCu$. A continuación, obtenemos $$ x^HC(C^HC+I)^{-1}C^Hx=x^HCu = \lambda \|x\|^2-xCC^HCu = \lambda \|x\|^2-\lambda x^HCu, $$ lo que implica $x^HCu = \frac\lambda{\lambda + 1} \|x\|^2$ y $$ x^HC(C^HC+I)^{-1}C^Hx = \frac\lambda{\lambda + 1} \|x\|^2, $$ por lo tanto $C(C^HC+I)^{-1}C^H$ tiene norma menor que uno.