Cómo probar esto $\frac{1}{P_{0}P_{1}}+\frac{1}{P_{0}P_{2}}+\cdots+\frac{1}{P_{0}P_{n}}<\sqrt{15n}$

Question

Dejemos que $P_{0},P_{1},P_{2},\cdots,P_{n}$ sea $n+1$ puntos en el plano. Sea $ d=1$ denotan el valor mínimo de todas las distancias entre dos puntos cualesquiera. Demostrar que

$$\dfrac{1}{P_{0}P_{1}}+\dfrac{1}{P_{0}P_{2}}+\cdots+\dfrac{1}{P_{0}P_{n}}<\sqrt{15n}$$

Este problema de fondo es de la competencia de matemáticas de la escuela secundaria de China (14 de octubre de 2012) problema 15,puede ver http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=2822547&sid=bbbc81f99da00d657f61b4835931c87e#p2822547

también pueden ver esta dos soluciones: http://wenku.baidu.com/view/82fb84d4240c844769eaeea3.html

Pero para mi problema,no puedo probarlo.Y creo que este es un buen problema,y Gracias por su ayuda.

Answer 1

Hasta el reetiquetado, podemos suponer que $P_0 P_n$ es la mayor distancia entre $P_0 P_i$ . También podemos suponer que $$\sum_{j=1}^{n-1}\frac{1}{P_0 P_j}<\sqrt{15(n-1)}$$ se mantiene como hipótesis de inducción.

Si $P_0 P_n \geq \frac{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}{\sqrt{15}}$ no hay nada que demostrar.

En caso contrario, todos los puntos pertenecen a un círculo $\Gamma$ centrado en $P_0$ con un radio $$R= \frac{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}{\sqrt{15}}<2\sqrt{\frac{n+1}{15}}$$ y el área $[\Gamma]=\pi R^2$ menos de $\frac{4\pi}{15}(n+1)$ . Dado que como máximo $2\pi R$ los puntos pueden estar en el anillo $A=\{x:d(x,P_0)\in[R-1/2,R]\}$ tenemos al menos $(n+1-2\pi R)$ círculos disjuntos, con radios $\frac{1}{2}$ contenida en $\Gamma$ . Considerando el área de la triangulación asociada, tenemos: $$[\Gamma]= \pi R^2 > (n+1-2\pi R)\frac{\sqrt{3}}{2},$$ o: $$ \frac{2\pi}{\sqrt{3}}R^2 + 2\pi R > (n+1) $$ que es una contradicción una vez ... ejem ... $n>9881$ . Esto deja "unos pocos" casos para ser revisados a mano.