Cómo probar esta desigualdad usando el teorema de los números primos

Question

Definir $sn=p{n+1}-p_n$, $pn$ Dónde está el número $n$ th primero, ahora cómo mostrar que $$\lim{n \rightarrow \infty} \inf \frac{s_n}{\log n} \leq 1$ $ utiliza el resultado del teorema primero del número: $p_n \sim n \log n$, pero tienen un trato difícil con la parte de $\inf$.

Answer 1

Aquí vamos: $pn \sim n\log n$ y $p{2n}\sim 2n\log(2n)\sim 2n\log n$. Tan $$p_{2n}-pn=(p{2n}-p{2n-1})+(p{2n-1}-p{2n-2})+\cdots +(p{n+2}-p{n+1})+(p{n+1}-p_{n})\sim n\log n.$$ As there are $n$ terms and the average is $\log n$, one needs to be smaller then $\log n$, que significa lim inf es más pequeño.
No debería ser demasiado difícil hacer este esbozo riguroso.

Answer 2

Para lidiar con el infimum, recuerde que $p_n \sim n \log n + o(n \log n)$, consulte esta página para obtener más precisa de expansión.

La secuencia de $(p_{n+1}-p_{n})/\log n$ tiene un montón de picos. El infimum de esta secuencia sería la envolvente inferior. Por lo suficientemente grande $n$ $$ \begin{eqnarray} \inf \frac{p_{n+1} -p_n}{\log n} &<& \frac{(n+1) \log(n+1) - n \log n}{\log n}= \frac{(n+1) \left(\log n + \log(1+\frac{1}{n})\right) - n \log n}{\log n}\\ &=& 1 + \frac{n+1}{\log n} \log\left( 1 + \frac{1}{n} \right) < 1 + \frac{n+1}{\log n} \frac{1}{n} = 1 + o(1) \end{eqnarray} $$