Esta pregunta se basa en el Lema 3.3, página 6 de este documento: http://arxiv.org/pdf/1106.0622v4.pdf He cambiado la notación bastante, pero debe ser un uno-a-uno la correspondencia.
$S(x)$ es un compacto de colector para cada una de las $x \in [0,T]$.
Fix $s \in [0,T]$. Deje $t \in [0,T]$. Supongamos $f(t,s):H^{-1}(S(s)) \to H^{-1}(S(t))$ (lineal, funcional), con la propiedad de que $f(t,t)$ es la identidad para cualquier $t$, y suponga que la siguiente se tiene:
$$\frac{1}{1+|s-t|}\lVert u\rVert_{H^{-1}(S(s))} \leq \lVert f(t,s)u \rVert_{H^{-1}(S(t))} \leq \frac{1}{1-|s-t|}\lVert u\rVert_{H^{-1}(S(s))}$$
Puede ser útil para conocer el adjunto de a $f(s,t)$, escrito $f(s,t)^*:H^1(S(s)) \to H^1(S(t))$ tiene la propiedad de que $\lVert f(s,t)^*v \rVert_{H^1(S(t))}$ es continuo, como una función de $t$.
La tarea es mostrar que $\lVert f(t,s)u \rVert_{H^{-1}(S(t))}$ es continuo, como una función de $t$.
Claramente se puede ver que es continua en a $t=s$. Pero ¿aparte de $s$? Cómo ver que es continua?
