$\mathbb F_{9}[y]/(1+y+y^{2}+y^{3})$ es una suma directa de campos finitos?

Question

Estoy tratando de descomponer $\mathbb F_{9}[y]/(1+y+y^{2}+y^{3})$ en una suma directa de campos finitos, pero no estoy seguro de que mi enfoque sea correcto o lo suficientemente bueno... De todos modos no estoy seguro de cómo terminar este problema. ¿Puede alguien ayudarme, por favor? ¿O darme una idea?

Así que, en primer lugar, me he dado cuenta de que $1+y+y^{2}+y^{3}=(1+y)(1+y^{2})$ . Lo que también sé es que $\mathbb F_{9}$ es isomorfo al campo $\mathbb F_{3}[y]/(1+y^{2})$ ya que $1+y^2$ no tiene raíces sobre $\mathbb F_{3}$ . A partir de aquí no estoy seguro de cómo seguir adelante...

¿Puede alguien ayudarme? ¡Muchas gracias!

Answer 1

Escriba ${\mathbb F}_9 = {\mathbb F}_3[\alpha]$ con $1 + \alpha^2 = 0$ como ya ha indicado. Ahora bien, tenga en cuenta que sobre ${\mathbb F}_9$ , $1 + y^2$ tiene $\alpha$ y $-\alpha$ como raíces, por lo que $1 + y + y^2 + y^3 = (1 + y)(1 + y^2) = (1 + y)(y - \alpha)(y + \alpha)$ en ${\mathbb F}_9$ .

Usando esto, ${\mathbb F}_9[y]/(1 + y + y^2 + y^3)$ $\cong$ ${\mathbb F}_9[y]/(1 + y) \times {\mathbb F}_9[y]/(y - \alpha) \times {\mathbb F}_9[y]/(y + \alpha)$ $\cong$ ${\mathbb F}_9 \times {\mathbb F}_9 \times {\mathbb F}_9$ el primer isomorfismo que aquí se sostiene por el Teorema del Resto Chino.