Gemelos, primos, sexy, ... primos

Question

Los primos gemelos, primos y sexos son de las formas $(p,p+2)$ , $(p,p+4)$ , $(p,p+6)$ respectivamente, para $p$ un primo. La Wikipedia artículo sobre las primas dice que, "Se deduce de la primera conjetura de Hardy-Littlewood que los primos tienen la misma densidad asintótica que los primos gemelos", pero el análogo artículo sobre los primos sexy no hace una afirmación similar.

Q1 . ¿Se espera que los primos sexy tengan la misma densidad que los primos gemelos?

Q2 . ¿Se conjetura que hay un número infinito de primos y sexos primos pares?

Q3 . Tener pares primos de la forma $(p,p+2k)$ se ha estudiado para $k>3$ ? Si es así, ¿cuáles son las conjeturas?

Gracias por la información o los consejos.

Answer 1

Perdón por el necropost, pero acabo de leer esta pregunta. Tanto Q1 como Q3 se consideran también en la primera conjetura de Hardy-Littlewood. En esencia, la conjetura (también conocida como la conjetura de la tupla k) da la densidad de cosas como los primos gemelos, primos primos, y similares.

Para ser más precisos, considera piezas de la forma $ p, p + a_1, p + a_1 + a_2, ..., p + a_1 + ... + a_k$ donde se alcanzarán infinitos primos. Así que no sólo los pares de la forma (p, p + 2k) tienen su propia conjetura, sino también los triples como (p, p + 2, p + 4) y similares.

La conjetura real se puede encontrar aquí: http://mathworld.wolfram.com/k-TupleConjecture.html

Answer 2

Módulo $30$ : Gemelos: $11/13$ , $17/19$ , $29/31$ . Primos: $7/11$ , $13/17$ , $19/23$ . Sexy: $1/7$ , $7/13$ , $11/17$ , $13/19$ , $17/23$ , $23/29$ . Cada uno de los $8$ coprimas módulo $30$ son primos que engendran un número infinito de primos, por ejemplo, de la forma $7 + 30k$ . Si no ocurre nada malo en los Países Bajos, los primos y los gemelos tienen la misma densidad, pero la mitad de la densidad de los primos sexy.

Answer 3

Q1 . ¿Se espera que los primos sexy tengan la misma densidad que los gemelos primos?

No, se espera que tengan el doble de densidad que los primos gemelos. Esto se debe a que $(p,p+6)$ forma una clase de residuo diferente a la de $(p,p+2)$ (y $(p,p+4)$ ). El Hardy-Littlewood $k$ -La conjetura de la tupla proporciona una forma de estimar la cantidad de primos $p$ por debajo de un número entero positivo $x$ tal que $p+6$ también es primo. Si denotamos este número por $\pi(x)_{(p,p+6)}$ tenemos:

$$ \pi(x)_{(p,p+6)} \sim 4 \prod_{p>=3} \frac{p(p-2)}{(p-1)^2} \int_2^x \frac{dt}{\log t^2}. $$

Q2 . ¿Se conjetura que hay un número infinito de pares primos y sexis?

Sí.

Q3 . Tener pares primos de la forma $(p,p+2k)$ se ha estudiado para $k>3$ ? Si es así, ¿cuáles son las conjeturas?

Sí. En particular, la ya mencionada conjetura de Hardy-Littlewood proporciona una manera de calcular una densidad asintótica para tales constelaciones, si de hecho hay un número infinito.