¿Hay un grupo finito no soluble que es $p$-soluble cada impar $p\in\pi(G)$?

Question

Que $G$ ser un grupo finito no solucionable y que $\pi(G)$ el conjunto de divisores primeros del orden de $G$. ¿Podemos decir que hay $r \in \pi(G)-{2}$ tal que $G$ no es un $r$-grupo resoluble?

Answer 1

Sí. Es de un grupo finito $G$ $p$-soluble si cada factor de composición nonabelian $G$ tiene orden de coprime $p$.

Si $G$ no es soluble, entonces tiene un grupo simple nonabelian como factor de composición. Este grupo simple nonabelian debe tener orden divisible % primer impar $r$(grupos finitos de orden $2^k$ son solubles). A continuación, $r$ también divide el orden de $G$, $G$ no es $r$-soluble.