Relación entre raíces y coeficientes de un cuadrático

Question

Para probar este lema utilizo la relación entre las raíces y los coeficientes de una ecuación cuadrática, pero no obtuve el resultado. Por favor, ayúdame a demostrar este lema .

Si$- ‎\theta‎‎_{2}x^2 - ‎ \theta‎‎_{1}‎x + 1 = 0‎‎$ y$‎\left| ‎‎\frac{ \theta‎‎‎_{1}‎ ‎\mp ‎\sqrt{(‎\theta‎‎_{1}^2+4‎\theta‎‎_{2})‎}}{-‎2‎\theta‎‎‎_{2}} ‎\right|‎‎‎< 1$, entonces:

$1. ‎\theta‎‎‎_{2}‎‎‎‎+‎\theta‎‎_{1}‎<1‎‎$

$2. ‎\theta‎_{2}‎‎-‎\theta‎_{1}<1‎$

$3. ‎-1<‎\theta‎_{2}<1$

Answer 1

$\frac{\theta_1\pm \sqrt {\theta_1^2+4\theta_2}}{2}$ son las dos raíces de la $z^2-\theta_1 z -\theta_2=0$, que son los recíprocos de las raíces de la $1-\theta_1 x-\theta_2x^2=0$. Así, la premisa es que las raíces de $z^2-\theta_1 z -\theta_2$ son menores en valor absoluto que ${\theta_2}$. Desde $\theta_2$ el (negativo) del producto de las raíces, cada raíz es $>1$ en valor absoluto.

Tenga en cuenta que $\frac{\theta_1+ \sqrt {\theta_1^2+4\theta_2}}{-2\theta_2}\cdot \frac{\theta_1- \sqrt {\theta_1^2+4\theta_2}}{-2\theta_2} = -\frac1{\theta_2}$. Dado que los números de la izquierda se $<1$ en valor absoluto, llegamos a la conclusión de que $|\theta_2|>1$, de ahí la reivindicación 3 es claramente errónea.

Los números de $\frac{\theta_1\pm \sqrt {\theta_1^2+4\theta_2}}{2}$ son también las raíces de $f(z)=z^2-\theta_1 z -\theta_2$. Reivindicación 1,$f(1)>0$, la reivindicación 2, es que $f(-1)>0$. Tenga en cuenta que $f$ es una parábola hacia arriba hacia arriba y asume su mínimo en la línea real en $z=\frac{\theta_1}2$, con un valor de $-\frac{\theta_1^2+4\theta_2}{4}$. Si este número es positivo, más aún debemos tener $f(\pm1)>0$. Y si $-\frac{\theta_1^2+4\theta_2}{4}$ es valor no positivo, entonces las raíces de la $f$ son reales y el valor absoluto de su producto es igual a $|\theta_2|>1$, por lo tanto, al menos una de las raíces es $>1$ en valor absoluto; esto parece funcionar contra la afirmación de que $f(\pm1)>0$. De hecho, usted debe ser fácilmente capaz de construir contraejemplos basado en los cálculos anteriores.