\frac{\theta_1\pm \sqrt {\theta_1^2+4\theta_2}}{2} son las dos raíces de la z^2-\theta_1 z -\theta_2=0, que son los recíprocos de las raíces de la 1-\theta_1 x-\theta_2x^2=0.
Así, la premisa es que las raíces de z^2-\theta_1 z -\theta_2 son menores en valor absoluto que {\theta_2}.
Desde \theta_2 el (negativo) del producto de las raíces, cada raíz es >1 en valor absoluto.
Tenga en cuenta que
\frac{\theta_1+ \sqrt {\theta_1^2+4\theta_2}}{-2\theta_2}\cdot \frac{\theta_1- \sqrt {\theta_1^2+4\theta_2}}{-2\theta_2} = -\frac1{\theta_2}.
Dado que los números de la izquierda se <1 en valor absoluto, llegamos a la conclusión de que |\theta_2|>1, de ahí la reivindicación 3 es claramente errónea.
Los números de \frac{\theta_1\pm \sqrt {\theta_1^2+4\theta_2}}{2} son también las raíces de f(z)=z^2-\theta_1 z -\theta_2.
Reivindicación 1,f(1)>0, la reivindicación 2, es que f(-1)>0.
Tenga en cuenta que f es una parábola hacia arriba hacia arriba y asume su mínimo en la línea real en z=\frac{\theta_1}2, con un valor de -\frac{\theta_1^2+4\theta_2}{4}. Si este número es positivo, más aún debemos tener f(\pm1)>0.
Y si -\frac{\theta_1^2+4\theta_2}{4} es valor no positivo, entonces las raíces de la f son reales y el valor absoluto de su producto es igual a |\theta_2|>1, por lo tanto, al menos una de las raíces es >1 en valor absoluto; esto parece funcionar contra la afirmación de que f(\pm1)>0. De hecho, usted debe ser fácilmente capaz de construir contraejemplos basado en los cálculos anteriores.