Rebanada de categoría opuesta equivalente a coslice de categoría?

Question

Que $\mathcal{C}$ ser alguna categoría y $A,B\in\mathcal{C}$. Tenemos las nociones de la rebanada categoría $\mathcal{C}/A$ cuyos objetos son morfismos $A'\to A$ y el coslice categoría $A/\mathcal{C}$ cuyos objetos son morfismos $A\to A'$.

Estoy bastante seguro de que $$\mathcal{C}^{\mathrm{op}}/A\equiv A/\mathcal{C}$$ but I'm worried that I might have got an arrow the wrong way around at some point, and that the actual result is $% $ $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}/A\equiv (A/\mathcal{C})^{\mathrm{op}}.$el primero de ellos es lo que espero sea cierto, ya que me gustaría que fuera el caso que un functor $$\mathcal{C}^{\mathrm{op}}/B\to \mathcal{C}^{\mathrm{op}}/A$$ gives a functor $$B/\mathcal{C}\to A/\mathcal{C}$$ and vice versa, but obviously (I hope) if the second statement is the true one then this functor will flip and be $A/\mathcal{C}\to B/\mathcal {C} $.

Answer 1

Las categorías de corte y coslado en una categoría$C$ admiten un functor olvidadizo al$C$, que es una forma de convencerse de que es el segundo: tenemos

ps

Estas categorías admiten un functor olvidadizo al$$C^{op}/c \cong (c/C)^{op}.$.

Pero tu esperanza todavía está bien: un funtor$C^{op}$ es lo mismo que un funtor$F : C^{op}/b \to C^{op}/a$, que a su vez es lo mismo que un funtor$F : (b/C)^{op} \to (a/C)^{op}$. Tomar categorías opuestas no da la vuelta a los funtores (invierte las transformaciones naturales).

Answer 2

Supongo que el de la suerte, de hecho, es cierto que $(A/\mathcal C)^\text{op} \cong \mathcal C^\text{op}/A$

El isomorfismo entre estas dos categorías está dada por $$F \colon (A/\mathcal C)^\text{op} \to C^\text{op}/A$$

• donde $$F(f) = f$$ para cada $f \colon A \to X$ $\mathcal C$

• y $$F(\alpha)=\alpha$$ para cada $\alpha \colon f \to g$$(A/\mathcal C)[f,g]$,$f \colon A \to X$$g \colon A \to Y$.

Este functor es claramente definidos en los objetos, ya $f \colon A \to X$, que es un objeto de $A/\mathcal C$, es también un objeto de $\mathcal C^\text{op}/A$.

Por otro lado, si $\alpha \in (A/\mathcal C)[f,g]$,$f \colon A \to X$$g \colon A \to Y$$\mathcal C$,$\alpha \colon X \to Y$$g=\alpha\circ f$$\mathcal C$. A partir de este, ya que $$g=\alpha\circ f=f \circ^\text{op} \alpha$$ de ello se desprende que $\alpha \in (\mathcal C^\text{op}/A)[g,f]$ (esto muestra que el mapa es contravariante, que es que el $F$ es un mapa de la gráfica de $(A/\mathcal C)^\text{op}$$\mathcal C^\text{op}/A$).

Functoriality sigue por simples cálculos y este es un isomorfismo, ya que es bijective tanto en los objetos y morfismos.