¿Por qué no es diferenciable en $ (1,1)$ esta función?

Question

Yo he pasado más de dos horas tratando de entender por qué esta función no es diferenciable en a $(1,1)$! $$f(x,y)=\begin{cases}x+y & x\ne y\\x+1 &x=y \end{cases}$$ Supuestamente debemos demostrar por medio de la ecuación siguiente:

$$\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{[f(1+h,1+k)-f(1,1)-h(\partial_xf(1,1))-k(\partial_yf (1,1))]}{\sqrt{h^2+k^2}} $$

con:

$$\frac{\partial f}{\partial x}(1,1) = 1, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(1,1) = 1$$

el límite es de $0$ al $h \neq k$

Pero supuestamente cuando los $h = k$ el límite es diferente de $0$ lo que demuestra que no es diferenciable en a $(1,1)$ pero no importa lo que hago me parece que no puede obtener un resultado diferente de $0$ al $h = k$

Cualquier ayuda sería muy apreciada!

Answer 1

Tienes razón, la función no es diferenciable, por definición, puesto que el límite no existe cuando $(x,y)\to (1,1)$.

De hecho para $h\neq k$

$$\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{[f(1+h,1+k)-f(1,1)-h(\partial_xf(1,1))-k(\partialyf (1,1))]} {[(h ^ 2 + k^2)^{1/2}]}=\lim{(h,k)\to(0,0)} \frac{h+k+2-2-h-k} {[(h ^ 2 + k ^ 2) ^ {1/2}]} = 0$

tiempo $h= k$

$$\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{[f(1+h,1+k)-f(1,1)-h(\partial_xf(1,1))-k(\partialyf (1,1))]}{ [(h^2 + k^2)^{1/2}]}=\lim{(h,k)\to(0,0)} \frac{h+2-2-2h}{h\sqrt 2}=-\frac1{\sqrt 2}$$