Volver a visitar un problema de desigualdad que involucra convexidad

Question

Esta pregunta es en relación con la siguiente pregunta: Una Desigualdad Problema de Convexidad : que ya le pedí en matemáticas.stackexchange un par de semanas atrás. Lee David Chung Lin dio un muy buen contraejemplo a esta pregunta, la cual fue de hecho muy útil. Sin embargo, he añadido un comentario allí, a la cual no he tenido respuesta de nadie todavía. En este post, pido una especializadas (y probablemente algo más fácil) la versión original de mi pregunta en ese comentario.

Así que, aquí les definir una función $f(x) = x \log x + (1-x) \log (1-x)$ $x \in [0,1]$ (con el obbvious convenio que $0 \log 0 = 0$). Supongamos que $x_1, x_2 \in [0,1]$, y defino $$\bar{x} = \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2}{2}}~.$$, tengo la fuerte sospecha de que la siguiente desigualdad se cumple: $$f(x_1) + f(x_2) \geq 2 f(\bar{x})~,$$ and further, equality holds if and only if $x_1 = x_2$. Can someone help me prove this inequality, or give a counterexample, if possible? I have checked this inequality using a very fine mesh of $[0,1]^2$ en MATLAB, y por lo tanto, creo que esta desigualdad es cierto.

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Si realiza una sustitución,$y = x^2$, entonces \begin{equation*} \bar y = \bar x^2 = \frac{x_1^2+x_2^2}2 = \frac{y_1+y_2}2. \end {ecuación *} Por lo tanto, su pregunta es equivalente a preguntar acerca de la convexidad (wrt$y$) de la función \begin{equation*} g(y) = \sqrt{y}\,\log\sqrt{y} + (1-\sqrt{y})\,\log(1-\sqrt{y}) . \end {ecuación *} Esto debe responderse tomando segundas derivadas.

Del mismo modo, puedes atacar tu pregunta original mirando \begin{equation*} g_p(y) = \sqrt{y}\,\log\frac{\sqrt{y}}{p} + (1-\sqrt{y})\,\log\frac{1-\sqrt{y}}{1-p} . \end {ecuación *}

Para una comprobación rápida, utilicé MATLAB y descubrí que$g$ es convexo, mientras que$g_p$ no es convexo para todos$p$ más pequeños que algo como$0.12$.

Answer 2

Esta es una elaboración de la respuesta dada por gerw:

Definir $$ y_1=x_1^2\\ y_2=x_2^2 $$ y la función de $g(y)=f(\sqrt{y})$. Entonces $$ f(x_1)=g(y_1)\\ f(x_2)=g(y_2)\\ f(\overline{x})=g\left(\frac{y_1+y_2}{2}\right) $$ A continuación, la desigualdad es una simple expresión de la convexidad de $g$ wrt. $y$: $$ f(x_1)+f(x_2)\geq 2f(\overline{x})\\ \Updownarrow\\ \frac{g(y_1)+g(y_2)}2\geq g\left(\frac{y_1+y_2}{2}\right) $$

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Así que vamos a definir $f$ un poco más general, como en relación a tu pregunta original: $$ f(x)=x\log\left(\frac xa\right)+(1-x)\log\left(\frac{1-x}b\right) $$ aún manteniendo la definición de $g(y)=f(\sqrt y)$. Para encontrar los derivados de la $g$ en términos de la posibilidad de mostrar la convexidad (dependiendo $a,b$) podemos dividirla en partes la aplicación de la regla de la cadena un par de veces: $$ \left(x\log\left(\frac xa\right)\right)'=\log\left(\frac xa\right)+1 $$ que por aplicación de la regla de la cadena y $(1-x)'=-1$ nos da $$ \left((1-x)\log\left(\frac{1-x}b\right)\right)'=-\log\left(\frac{1-x}b\right)-1 $$ mostrando que $$ f'(x)=\log\left(\frac xa\right)-\log\left(\frac{1-x}b\right) $$ y desde $(\sqrt y)'=1/(2\sqrt y)$ esto nos da $$ g'(y)=\frac{\log\left(\frac{\sqrt{y}}\right)-\log\left(\frac{1-\sqrt{y}}b\right)}{2\sqrt{y}} $$

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Ahora para encontrar la segunda derivada, consideremos la función $$ h(x)=\frac{\log\left(\frac{x}\right)-\log\left(\frac{1-x}b\right)}{2x} $$ y los derivados de las subexpresiones: $$ \left(\log\left(\frac xa\right)\right)'=\frac 1x\\ \left(-\log\left(\frac{1-x}b\right)\right)'=\frac 1{1-x}\\ \left(2x\right)'=2 $$ lo que implica $$ h'(x)=\frac{\left(\frac1x+\frac1{1-x}\right)\cdot 2x-\left(\log\left(\frac{x}\right)-\log\left(\frac{1-x}b\right)\right)\cdot 2}{(2x)^2} $$ Y así, finalmente, podemos concluir que $g''(y)=\left(h(\sqrt{y})\right)'=h'(\sqrt y)/(2\sqrt y)$, que luego se $$ g(y)=\frac{\left(\frac1{\sqrt y}+\frac1{1-\sqrt y}\right)\cdot 2\sqrt y-\left(\log\left(\frac{\sqrt y}\right)-\log\left(\frac{1-\sqrt y}b\right)\right)\cdot 2}{(2\sqrt y)^3} $$

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Por último, volviendo a gerw la respuesta, a ver si $g$ es convexa, por lo que la desigualdad se cumple para $f$, debemos comprobar si $g''$ es no negativo en $(0,1)$. De hecho, no tenemos que comprobar esto $g''$, pero puede trabajar con $h'$ ya que los dos comparten signos. Además, sólo el numerador afecta el signo de la expresión. También podemos quitar el compartidas factor de $2$ y simplificar: $$ \left(\frac1x+\frac1{1-x}\right)\cdot x=\frac{1}{1-x} $$ y aplicar logarítmica reglas para dibujar $a,b$ y se recombinan. A continuación, $h'(x)\geq 0$ puede considerarse equivalente a: $$ q(x)=\frac1{1-x}+\log(1-x)-\log(x)+\log(a/b) \geq 0 $$ Tomando la derivada de la $q$: $$ q'(x)=\frac 1{(1-x)^2}-\frac1{1-x}-\frac 1x=\frac{2x-1}{x(1-x)^2} $$ vemos que $q$ tiene su mínimo en $x=0.5$. Uno puede comprobar que $q(0.5)=2+\log(a/b)$, lo que implica que $q$ no es negativo, siempre como $$ \log(a/b)\geq -2\\ \Updownarrow\\ \frac ab\geq \operatorname e^{-2} $$

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Volviendo al problema original en esta pregunta $a=b=1$, por lo que en este caso $g$ es convexa y la desigualdad original de las obras. En el otro post que quería: $$ a=p\\ b=1-p $$ por lo que el requisito se convierte en $$ \frac p{1-p}\geq \operatorname e^{-2}\\ \Updownarrow\\ p\geq\frac{\operatorname e^{-2}}{1+\operatorname e^{-2}}=\frac{1}{\operatorname e^2+1}\approx 0.1192029220 $$ La última parte es, por supuesto, asumiendo $p>0$ por lo contrario, la desigualdad se invierte, y/o la función de $f$ será mal definidos.