Simplificación de un trilogarithm de un argumento complejo

Question

¿Es posible simplificar la siguiente expresión? $$\large\Im\,\operatorname{Li}_3\left(-e^{\xi\,\left(\sqrt3-\sqrt{-1}\right)-\frac{\pi^2}{12\,\xi}\left(\sqrt3+\sqrt{-1}\right)}\right)$ $ donde $ de$$ \large\xi=\frac{\sqrt[3]3}6\sqrt[3]{27+\sqrt3\,\sqrt{243-\pi^6}}$y$\Im\,\operatorname{Li}_3(z)$ denota la parte imaginaria de la trilogarithm.

Answer 1

Paso 1: tenga en cuenta que el argumento trilogarithm $$z=e^{2\pi i x}=-e^{\xi\,\left(\sqrt3-\sqrt{-1}\right)-\frac{\pi^2}{12\,\xi}\left(\sqrt3+\sqrt{-1}\right)}$$ se encuentra en el círculo unidad.

Paso 2: el Uso que $$\operatorname{Li}_n(e^{2\pi i x})+(-1)^n\operatorname{Li}_n(e^{-2\pi i x})=-\frac{(2\pi i)^n}{n!}B_n(x),$$ donde $B_n(x)$ $n$th Bernoulli polinomio. Por supuesto, aquí se $n=3$.

Paso 3: Simplifica.

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Estoy bastante seguro de que esto le dará la respuesta $\frac12$ @VladimirReshetnikov .