¿Es esto correcto?

Question

Conocí a una pregunta, me deja calcular $$ \lim\limits_{x\to 0}(\cos x)^{-x^2}$ $

la respuesta es 1

Esto no es una función principal, su estructura es como %#% $ #%

¿es un teorema, que no lo encuentro en mi libro de matemáticas? probablemente escriba $$\lim\limits_{x\to 0}f(x)^{g(x)}$ $

Answer 1

Cuando $ \lim{x\to a}f(x) > 0$ y $\lim{x\to a} g(x)$ existe, de la continuidad de $\exp(x)$ y $\ln(x)$, tenemos $$ \lim{x\to a} f(x)^{g(x)} = \lim{x\to a} \exp({g(x)\cdot \ln f(x)}) = \exp \left(\lim{x\to a} g(x) \cdot \ln \left(\lim{x\to a}f(x)\right)\right) = \left[\lim{x\to a}f(x)\right]^{\lim{x\to a} g(x)} .$ $

Answer 2

$\begin{array}\ (\cos(x))^{-x^2} &=\exp(-x^2\ln(\cos(x)))\ &=\exp(-x^2\ln(1-x^2/2+O(x^4)))\ &=\exp(-x^2(-x^2/2+O(x^4)))\ &=\exp(x^4/2+O(x^6))\ &\to \exp(0)\ &=1\ \end{matriz} $

Si te refieres $(\cos(x)) ^ {x ^ {-2}} $ entonces haz $\exp(x^{-2}(-x^2/2+O(x^4))) =\exp(-1/2+O(x^2)) \to e ^ {-1/2} $.