Voy a ir de la forma estándar. Permítanos presentarle $A,B,C>0$ con
$$
a=a^3\ ,\
b=B^3\ ,\
c=C^3\ .
$$
Entonces tenemos que mostrar
$$
\frac{a^3}{B^3}+
\frac{B^3}{C^3}+
\frac{C^3} {^3}+
\frac{3ABC}{a^3+B^3+C^3}
-4\ge 0
\ .
$$
Multiplicamos con $A^3B^3C^3(A^3+B^3+C^3)$, y tiene que mostrar de forma equivalente:
$$
\begin{aligned}
&A^9C^3+B^9A^3+C^9B^3\\
&\qquad+A^6B^6+B^6C^6+C^6A^6\\
&\qquad\qquad+3A^4B^4C^4\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\ge 3A^6B^3C^3 + 3A^3B^6C^3 +3A^3B^3C^6 \ .
\end{aligned}
$$
Veamos cómo dominar los términos de la R. H. S de $\ge $ con los de la $L.H.S$. Consideremos, en primer lugar $3A^6B^3C^3$. El grado es $(6,3,3)$.
Consideramos que es en el plano de la $X+Y+Z=12$, y la búsqueda de un triángulo usando los pesos
- $(9,0,3)$, $(3,9,0)$, $(0,3,9)$,
- $(6,6,0)$, $(6,0,6)$, $(0,6,6)$,
- $(4,4,4)$,
en el mismo plano, que contiene $(6,3,3)$ en su interior.
Hemos de hacerlo, ya que desea aplicar la desigualdad
$$
a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+\dots\ge x_1^{a_1}\cdot x_2^{a_2}\cdot x_3^{a_3}\cdot\dots
\ ,
$$
donde $a_1,a_2,a_3,\dots$ son positivas pesos.
De $\frac 47(9,0,3)+\frac 27(3,9,0)+\frac 17(0,3,9)=(6,3,3)$ obtenemos la desigualdad:
$$
\frac 47A^9C^3 +
\frac 27A^3B^9 +
\frac 17B^3C^9 \ge
(A^9C^3)^{4/7}\cdot
(A^3B^9)^{2/7}\cdot
(B^3C^9)^{1/7}
=
UN^6B^3C^3\ .
$$
Cíclicamente de esta manera, se puede "cubrir" (dominar) una vez que la suma
$A^6B^3C^3 + A^3B^6C^3 +A^3B^3C^6 $.
Pero el problema con esta dominación es que no hemos utilizado nuestro más débiles plazo, el uno con $(4,4,4)$, pero en lugar de que hemos perdido el más fuerte. Así que tenemos que combinar. Una combinación general sería de la forma:
$$
\left(\frac 47-\frac r3\right)
(9,0,3)
+
\left(\frac 27-\frac r3\right)
(3,9,0)
+
\left(\frac 17-\frac r3\right)
(0,3,9)
+r(4,4,4)
=(6,3,3) \ .
$$
A continuación, el mejor valor que podemos utilizar para $r$$r=\frac 37$.
Esto le da
$$
\frac 37
(9,0,3)
+
\frac 17
(3,9,0)
+
\frac 37(4,4,4)
=(6,3,3) \ .
$$
Esto da entonces una desigualdad de la misma forma que el anterior, se multiplica con $\frac 74$ para obtener:
$$
\frac 34A^9C^3 +
\frac 14A^3B^9 +
\frac 34A^4B^4C^4 \ge
\frac 74A^6B^3C^3\ .
$$
Cíclicamente de esta manera, se puede "cubrir" (dominar) $7/4$ de la suma
$A^6B^3C^3 + A^3B^6C^3 +A^3B^3C^6 $.
Para el resto, sabemos lo que todavía tiene que demostrar, esto es
$$
\begin{aligned}
&A^6B^6+B^6C^6+C^6A^6\\
&\qquad+\frac34A^4B^4C^4\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\ge \frac 54(A^6B^3C^3 + A^3B^6C^3 +A^3B^3C^6) \ .
\end{aligned}
$$
Multiplicamos con $\frac 45$, es decir, mostrar, equivalentemente,
$$
\frac 45A^6B^6+\frac 45B^6C^6+\frac 45C^6A^6+\frac35A^4B^4C^4
\ge
UN^6B^3C^3 + A^3B^6C^3 +A^3B^3C^6\ .
$$
Esto se deduce de la
$$
\frac 25A^6B^6+\frac 25A^6C^6+\frac15A^4B^4C^4
\ge
UN^6B^3C^3\ ,
$$
(después de ciclo y añadir). La última desigualdad corresponde a
$$
\frac 25(6,6,0)+\frac 25(6,0,6)+\frac 15(4,4,4)=(6,3,3)\ .
$$
Nota: Esta prueba puede ser reescrito para caber en un par de líneas, sin embargo, prefiero dar todo... no había ningún punto en donde me hizo algo antinatural, por lo que esta es una solución natural.
