¿Alguien puede ayudarme a hacer este límite? $ \lim_{n\to\infty} \frac{n!\times(2n)!}{(3n)!}$

Question

¿alguien puede ayudarme con este límite?

No sé cómo expandir esa multiplicación factorial, así que lo que he hecho hasta ahora es sustituir lo dado:

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{n!\times(2n)!}{(3n)!}$ $$$ \lim_{n\to\infty} \frac{\infty\times\infty}{\infty}$ $

Y con esto puedo aplicar el teorema de Cauchy o L'Hôpital derivando ambos lados de la fracción de forma independiente, pero mi problema también aparece aquí porque no sé cómo derivar un término factorial.

¿Puede alguien ayudarme por favor? Gracias

Answer 1

En este caso, acababa de escribir a cabo de forma recursiva. Denotar por $a_n$ $n^{th}$ término de la secuencia, de manera que $$ a_n = \frac{n!(2n)!}{(3n)!} = \frac{n(2n)(2n-1)}{(3n)(3n-1)(3n-2)}a_{n-1}$$ La idea básica detrás de la comprensión de las secuencias es encontrar algo más simple para comparar. Así que vamos a tomar, aparte de que el factor: $$ \frac{n(2n)(2n-1)}{(3n)(3n-1)(3n-2)} = \frac{1}{3}\frac{2n-1}{3n-1}\frac{2n-1}{3n-2} < \frac{1}{3} $$ desde cada uno de esos dos últimas fracciones es menos de $1$.

Eso significa que cada nuevo término en la secuencia es menos de un tercio en el periodo anterior: $a_n < a_{n-1}/3$. La secuencia comienza con $1$, lo $a_n < (1/3)^n$.

Así que ahora, pida a una simple pregunta: ¿qué $(1/3)^n$ hacer? A continuación, utilice la respuesta para responder a tu pregunta original.

Answer 2

Esto va a ser un exceso horrible, pero divertido. Ya que

$$ \sum_{n\geq 0}\frac{n!(2n)!}{(3n)!} = \sum_{n\geq 0}(3n+1) B(n+1,2n+1)=\int_{0}^{1}\sum_{n\geq 0}(3n+1)(1-x)^{n}x^{2n}\,dx $ $ es igual a$\phantom{}_3 F_2\left(\frac{1}{2},1,1;\frac{1}{3},\frac{2}{3};\frac{4}{27}\right)$ o$\int_{0}^{1}\frac{1+2x^2-2x^3}{(1-x^2+x^3)^2}\,dx$, que es una integral convergente (y muy cerca de$\sqrt{2}$), el término principal de la serie original va a cero como$n\to +\infty$.

Answer 3

Sugerencia:$$\frac{n! (2n)!}{(3n)!} = \prod_{i=1}^{n}\frac{i}{2n+i},$ $ y$$\frac{i}{2n+i} \le \frac{1}{3}.$ $

Answer 4

Dejar $a_n = \dfrac{n!(2n)!}{(3n)!}$. Entonces $$ \ frac {a_ {n +1}} {a_n} = \ frac {(n +1)! (2n +2)!} {(3n +3)!} \ Frac {(3n)!} { n! (2n)!} = \ frac {(n +1) (2n +2) (2n +1)} {(3n +3) (3n +2) (3n +1)} = \ frac {4n ^ 3+ \ cdots} {27n ^ 3 + \ cdots} \ a \ frac {4} {27} <1 $$ Por lo tanto,$a_n \to 0$.

Answer 5

Sugerencia: no necesita usar la regla de l'Hospital aquí; simplemente escriba lo que significan los factoriales ... por ejemplo,$$(3n)!=(3n)\times (3n-1)\times (3n-2)\times\cdots\times (3)\times (2)\times(1).$$ Now write out in similar fashion the $ (2n)!$ and you'll see a trend in the $ (2n)!$ that also occurs in the $ (3n)!$. All that is left is considering the $ n!$, and if you write it out in the same way as the other two, you can make some more (though less obvious) connections to the $ (3n)! $.