¿Por qué este morfismo de paquetes de vectores está dado por una matriz de formas lineales?

Question

Deje $X$ ser un suave hipersuperficie en el espacio Proyectivo $\mathbb{P}^n$ grado $ d$ definido por la ecuación $f=0$. Dado que tenemos un vector paquete de $E$ de la fila $r\geq1$ $X$ de tal manera que tenemos la siguiente secuencia exacta en $\mathbb{P}^n$:

$$0\rightarrow O(-1)^{rd}\rightarrow O^{rd}\rightarrow E\rightarrow 0.$$ Mi pregunta es la siguiente. ¿Cuál es la morfismos de $O(-1)^{rd}\rightarrow O^{rd}$? Un estudio indicó que es administrado por un $rd\times rd$ matriz lineal de las formas. ¿Por qué es esto? Yo no soy capaz de verlo. Si esto es así, podemos decir de dónde $\mathbb{P}^n$ el determinante de dicha matriz se desvanece?

Answer 1

No entiendo tu confusión sobre el tamaño de la matriz. Si usted fija una base (para evitar confusiones), el mapa es dado como $\oplus_{i=1}^m O(-1)e_i\to \oplus_{i=1}^m Ov_i$ donde $e_i, v_i$ son solo lugar los titulares. Un mapa de $O(-1)e_i\to Ov_j$ está dado por una forma lineal (posiblemente cero) $l_{ij}$. Por lo tanto, usted consigue $m^2$ lineal formas $l_{ij}$ dada por un $m\times m$ matriz.

Para la última parte, observe que el determinante de esta matriz es un polinomio homogéneo $F$ grado $rd$. En cualquier punto de $f\neq 0$, $E=0$ y por lo tanto la matriz debe ser no singular no. Este dice, el único factor primo de $F$ $f$ y por el grado consideraciones, $F$ $f^r$ hasta un valor distinto de cero constante.