1. Encontrar un grupo finito G y dos normales subgrupos a y B tales que a $A \cong B$ pero $G/A \ncong G/B$.
Deje $G=\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2$ (que es abelian), $A= \langle(2,0)\rangle$$B=\langle(0,1)\rangle$. A continuación, $(1,0)+B$ es de orden 4, por lo tanto $G/B$ es cíclico; mientras que $G/A = \{A, (1,0)+A, (0,1)+A, (1,1)+A \}$ no es cíclica debido a que cada elemento no nulo tiene orden de $2$. Por lo tanto,$G/A \ncong G/B$.
2. Encontrar un grupo finito G y dos normales subgrupos a y B tales que a $A \ncong B$ pero $G/A \cong G/B$.
Deje $G=D_4$ el diedro grupo con $8$ elementos, $A=\langle \rho_{\pi/2} \rangle$ $B=\langle\rho_\pi, \iota, \iota_{\pi}\rangle$ tienen orden de $4$, por lo tanto tienen el índice de $2$, lo que implica que no son normales y que su cociente grupos son isomorfos, pero $B$ no es cíclico, por lo $A\ncong B$. Tenga en cuenta que $\rho_\theta$ indica la rotación de un ángulo de $\theta$ hacia la izquierda, mientras que $\iota_\theta$ es la reflexión a través de la línea que forma un ángulo de $\theta/2$ con el eje x.
¿Crees que estas soluciones son correctas?
