Considere una función de $f: (0,1) \to \mathbb R$ definida como la siguiente potencia de la serie: $$ f(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k (1-x)^k. $$ Esta serie ha $a_k > 0$ y se supone que convergen punto de sabios de todas las $x \in (0,1)$.
Mi pregunta es:
Si $x$ en la expresión anterior se sustituye por una variable compleja $z$, puede estar seguro de que $\sum_{k=0}^\infty a_k (1-z)^k$ converge para todos los $z$$|z-1|<1$?
Aquí está mi intento de prueba, pero no estoy seguro de que es correcto.
La serie de $x \in (0,1)$ es absolutamente convergente en $(0,1)$ por los supuestos. Es decir, $\sum_{k=0}^\infty a_k (1-x)^k = \sum_{k=0}^\infty a_k |1-x|^k$ es finito para todo tipo de $x$. La sustitución de $x$ por cualquier compleja $z$ tal que $|1-z| = |1-x|$, el resultado es $\sum_{k=0}^\infty a_k |1-z|^k$ converge en el mismo valor. Esto implica que la serie compleja $\sum_{k=0}^\infty a_k (1-z)^k$ (absolutamente) converge. Ya que esto es válido para cualquier $x \in (0,1)$, el complejo de la serie converge para cualquier $z$ en el disco $|z-1|<1$.
Son todos mis pasos correctos? Si es así, ¿hay alguna prueba más corta? Si no, hay un contraejemplo?
