Es $\mathbb{S}^\infty$ exótico

Question

Durante la construcción de haces universales se considera (por ejemplo) el espacio proyectivo real infinito $\mathbb{R}\mathbb{P}^\infty$ , procedente de la esfera $\mathbb{S}^\infty$ .

Mi pregunta es, ¿hay exóticos $\mathbb{S}^\infty$ 's ?

Edición: Tal vez esto ayude a poner las cosas en contexto: En "Fibre Bundles" de Husemuller, puedes leer en el ejemplo 11.3. $G=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ . El espacio $E_G(n)$ es sólo la n-esfera $\mathbb{S}^n$ hasta el homeomorfismo ... El espacio $E_G$ es $\mathbb{S}^\infty$ y $B_G$ es $\mathbb{R}\mathbb{P}^\infty$ . Este es un ejemplo clásico de la construcción de Milnor del haz $(E_G, B_G,\pi)$ .

El ejemplo que sigue procede del mundo del análisis funcional (un campo con el que no estoy precisamente familiarizado), pero el ejemplo es, no obstante, fascinante. En Husemuller (o Milnor) la construcción no requiere tener lugar en un espacio de Banach y se basa en la unión infinita $G * \ldots *G$ (pero tal vez se pueda incrustar esto en un espacio de Banach).

Answer 1

Tienes dos asuntos que tratar.

1) ¿Qué tipo de colector de dimensiones infinitas quieres considerar $S^\infty$ ¿a qué se debe?

y luego está el asesino:

2) Las variedades "razonables" de Banach, Hilbert y Frechet tienen la extraña propiedad de que son homotopías equivalentes si y sólo si son difeomorfas.

Henderson, David W. (1969). "Las variedades de dimensión infinita son subconjuntos abiertos del espacio de Hilbert". Bull. Amer. Math. Soc. 75:

Así que siempre que des $S^\infty$ una estructura de colector "razonable", por diseño no hay esperanza de que sea exótica.

El teorema de Henderson tiene análogos en la teoría de las variedades de dimensión finita. La historia de gran parte de la teoría clásica de los colectores es que los teoremas de h y s-cobordismo indican cómo las propiedades de estos colectores se reducen a varias propiedades algebraicas. Pero yendo más allá, si se "estabiliza" suficientemente una variedad, la única "información" contenida en ese objeto es la homotopía simple de esa variedad junto con el mapa clasificador del haz normal estable. Por lo tanto, gran parte de la parte difícil de la teoría de los colectores desaparece cuando se "aumenta" la dimensión mediante la estabilización. Pero cuando se trata de una variedad de dimensiones infinitas, en cierto sentido ya se ha estabilizado.

Por supuesto, eso es más vago y pretende dar sólo una intuición parcial. Pero si nos fijamos en los detalles, esta historia lleva aunque bastante lejos.