Actualmente estoy leyendo el documento " Una red de dualidad en 2+ 1 dimensiones y física de la materia condensada " de Seiberg et al, y en la página 22 añaden al Lagrangiano un operador monopolar de la forma $\phi^{\dagger}\mathcal{M}_{\hat b}$ . En primer lugar, ¿es acaso una errata que el $\phi$ ¿está desatada? ¿Debería ser "hatted" para que se cargue bajo U(1) $_\hat b$ ? En segundo lugar, ¿cómo rompe exactamente este operador la simetría global cuya corriente es la corriente topológica $d\hat b$ ? He estado tratando de entender esto a la luz de " Simetrías globales generalizadas ", y si entiendo bien, esto constituiría una simetría global de 1 forma. Sin embargo, no he podido encontrar en ese documento una sección que explique por qué un monopolo de esta forma rompería la simetría. Estaría muy agradecido si alguien pudiera arrojar un poco de luz sobre esto para mí. Gracias.
Respuesta
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Las teorías gauge suelen estar dotadas de simetrías globales "eléctricas" y "magnéticas" de forma superior. El acoplamiento de estas teorías a fuentes cargadas eléctrica o magnéticamente rompe explícitamente la simetría correspondiente (parcial o completamente).
Permítanme primero revisar cómo funciona esto para el caso más familiar de $\mathrm{U}(1)$ teorías gauge en 4d. Así que consideremos un campo gauge abeliano de 1 forma $A$ con intensidad de campo $F=\mathrm{d}A$ en un manípulo de 4 dimensiones $M$ . Empezamos con la teoría gauge pura, con la acción
$$S \propto \int_M F \wedge \star F.$$
(En realidad no es necesario hablar de una acción, pero puede hacer las cosas más transparentes en ejemplos sencillos). La ecuación del movimiento y la identidad de Bianchi dicen que
$$\mathrm{d} \star F = 0 \quad\text{and}\quad \mathrm{d} F = 0.$$
En la teoría cuántica, se trata de ecuaciones de operadores. Eso significa que tenemos dos corrientes conservadas de 2 formas diferentes $j= F$ y $\tilde j = \star F$ que satisfacen $\mathrm{d} \star j = \mathrm{d} \star \tilde j=0$ . Cada uno de ellos es un $\mathrm{U}(1)$ Simetría global de 1 forma, a menudo llamada "eléctrica" ( $\mathrm{U(1)_E}$ ) y "magnético" ( $\mathrm{U(1)_M}$ ), respectivamente. Se denominan simetrías de 1 forma porque los objetos cargados, las líneas de Wilson y las líneas de 't Hooft, se apoyan en manifolds de 1 forma. (Mientras que en las simetrías ordinarias de forma 0 los objetos cargados son operadores locales). Se puede pensar en ellas como las líneas del mundo de las cargas eléctricas de la sonda y los monopolos magnéticos. La página web $\mathrm{U(1)_E}$ y $\mathrm{U(1)_M}$ Las cargas propias se obtienen integrando $\star j$ y $\star \tilde j$ sobre las 2 esferas que unen estas líneas, $Q = \oint_{S^2} \star F$ y $\tilde Q = \oint_{S^2} F$ . Por supuesto, éstas sólo miden las cargas eléctricas y magnéticas de la partícula cuya línea del mundo rodean.
En estas variables, una línea de Wilson simplemente toma la forma $W_q(C) = e^{iq\oint_C A}$ . La simetría de la forma 1 eléctrica corresponde a la invariancia de la acción bajo el desplazamiento $A \to A + \lambda$ , donde $\lambda$ es un campo gauge plano $(\mathrm{d}\lambda = 0),$ y claramente $W_q(C)$ se transforma bajo esta simetría. La línea de Wilson inserta una fuente en la ecuación del movimiento, $\mathrm{d}\star F = q \delta_C$ . La línea de 't Hooft es igualmente la holonomía del campo gauge dual $\hat A$ y la simetría de la forma 1 magnética correspondería igualmente a un desplazamiento $\hat A$ por un campo gauge plano si escribimos la teoría en las variables duales. En términos de las variables originales, el operador 't Hooft $H_m(C)$ corresponde a una prescripción para eliminar $C$ de $M$ y exigir que $\oint_{S^2} F = 2\pi m$ , donde $S^2$ es una esfera que une $C$ . Equivalentemente, el operador 't Hooft inserta una fuente en la identidad de Bianchi, $\mathrm{d} F = 2\pi m \delta_C$ .
Hasta ahora hemos hablado de la teoría gauge pura. Supongamos ahora que la acoplamos a materia cargada eléctricamente (digamos a un campo con carga 1). La materia cargada entra en la ecuación del movimiento como una fuente, $\mathrm{d} \star F = \star j_E$ y rompe explícitamente la simetría de la forma 1 eléctrica. Del mismo modo, el acoplamiento de la teoría a un operador monopolar rompe explícitamente la simetría de la forma 1 magnética.
Espero que ahora puedas ver la respuesta a tu pregunta original. Los autores están considerando una teoría 3d con campos gauge abelianos $b$ y $\hat b$ . Como siempre, en ausencia de materia cargada magnéticamente, las identidades de Bianchi implican la existencia de corrientes conservadas $\star \mathrm{d}b$ y $\star \mathrm{d} \hat b$ . Obsérvese que, como estamos en tres dimensiones, se trata de simetrías globales ordinarias de forma 0. Así que la teoría tiene dos $\mathrm{U(1)}$ simetrías globales ordinarias (ambas "magnéticas" en el lenguaje anterior). Ahora se acopla la teoría a un operador monopolar para $\hat b$ . Esto introduce una fuente magnética en la identidad de Bianchi para $\mathrm{d}\hat b$ y rompe explícitamente el correspondiente $\mathrm{U(1)}$ simetría.
(No creo que $\phi^\dagger \mathcal{M}_{\hat b}$ es un error tipográfico. Dicen que $\mathcal{M}_{\hat b}$ lleva una carga bajo el $b$ simetría gauge y, por tanto, multiplicar por $\phi^\dagger$ para hacer un operador invariante gauge).
