Nombre y número de "teselaciones equiláteras con los mismos ángulos en todos los vértices"

Question

Antecedentes más largos, preguntas más cortas a continuación:

Los teselados del plano 2D formados por polígonos regulares son normalmente se describen con configuraciones de vértices como "3.4.6.4" que significa que hay un triángulo regular, dos cuadrados y un hexágono regular que se encuentran en cada vértice.

Sólo hay 3 teselaciones regulares (compuesto únicamente por el mismo polígono regular): "3.3.3.3.3", "4.4.4.4" y "6.6.6".

El siguiente paso es semirregular o Teselaciones arquimedianas ( compuesto por múltiples polígonos regulares diferentes ). Se suele suponer que son 8: "3.3.3.3.6", "3.3.3.4.4", "3.3.4.3.4", "3.4.6.4", "3.6.3.6", "3.12.12", "4.6.12", "4.8.8". A veces, la 9ª teselación semirregular se separa, ya que la "3.3.3.6" puede colocarse de dos maneras en espejo.

Mi interés es la "siguiente etapa" después de esto. Actualmente los llamo teselaciones equiláteras con los mismos ángulos en todos los vértices pero me gustaría saber si tal vez alguien ya los ha nombrado y podría indicarme la investigación existente.

Para formular este problema no es justo utilizar la convención de nomenclatura anterior sobre estas teselaciones, ya que no están formadas por polígonos regulares, sino por equiláteros. Por lo tanto, se necesita una nueva convención de nomenclatura para describir los ángulos de los vértices, por ejemplo, la teselación "3.4.6.4" puede llamarse "60-90-120-90", describiendo los ángulos que rodean cada vértice.

Se puede demostrar que tales teselaciones con cada vértice formado por los mismos ángulos y cada línea de igual longitud son un superconjunto de teselaciones semirregulares, e incluyen más ejemplos, como "90-120-150", que tiene este aspecto:

En resumen mis preguntas son:

1. ¿Este tipo de teselaciones equiláteras con los mismos ángulos en todos los vértices tienen un nombre mejor ya utilizado?
2. ¿Existe un límite conocido de cuántos tipos de estos existen? (¿Hay más que los que he mencionado?) Y si no, ¿qué métodos podría utilizar para determinar más configuraciones existentes (o hay una cantidad infinita de ellas)?

Answer 1

Los tilings en los que las disposiciones de los vértices (es decir, cada vértice con sus aristas incidentes) son todas iguales se denominan monogonal . Esto es análogo al término monohédrico para los recubrimientos cerámicos que utilizan un solo tipo de forma de baldosa. Tenga en cuenta que no es necesario que todas las aristas tengan la misma longitud, pero su disposición alrededor de cada vértice debe ser la misma.

Un mosaico se llama isogonal si el mosaico en su conjunto tiene simetrías que asignan un vértice a cualquier otro vértice. Esto es análogo a la isoédrica, y análogamente el término correspondiente a la 2-isoédrica es 2-isogonal donde las simetrías del conjunto del mosaico dividen los vértices en dos clases de equivalencia, etcétera.

Por lo tanto, los mosaicos que le interesan son monogonales y equiláteros (y presumiblemente periódicos).

En el brillante libro Tilings and Patterns de Grunbaum y Shephard, clasifican todos los tilings isogonales, encontrando 93 tipos, dos de los cuales necesitan marcas adicionales en las caras o aristas para distinguir sus simetrías de las demás. No sé cuántos de ellos pueden ser equiláteros.

No creo que se sepa mucho sobre otros tilings monogonales (es decir, los que son k-isogonales para k>1), y me parece que la situación es muy parecida a la de los tilings monohédricos en el sentido de que es difícil encontrarlos todos sin mucha ayuda informática.

Editar:

Todos los 93 tipos de mosaicos isogonales mencionados anteriormente son topológicamente equivalentes a los mosaicos semirregulares, por lo que si se imponen aristas rectas de la misma longitud, la mayoría de ellos vuelven a esos mosaicos semirregulares. Sin embargo, a unos pocos les queda un grado de libertad que permite deformar algunas de las caras en formas no regulares. El de la pregunta corresponde al tipo IG88, y si no se me ha pasado ninguno por alto, hay otros 15 alicatados isogonales equiláteros periódicos, como se muestra en este dibujo:

Tenga en cuenta que en algunos casos era más fácil utilizar ángulos de $60/120/180$ en el dibujo, pero tenga en cuenta que se puede utilizar cualquier ángulo.