¿Hay una "mayor función"?

Question

En una de mis clases, el profesor le preguntó acerca de lo que pensamos que es el más grande de la función. Muchos pensaron que quizás ${e^x}^{e^x}$, pero pensé $n!$

Cuando hablo de un "más grande de la función", me refiero a la función que aumenta la más rápida.

El profesor le preguntó acerca de una función de más de $n!$ a los que me respondieron, $2n!$

Aunque sarcástico, en la naturaleza, es técnicamente cierto.

Así que mi pregunta es esta:

¿Qué es el "más grande de la función" si definimos la "más grande" como "aumenta la más rápida". Una función principal, es lo que necesitamos, ya que impide que alguien como yo de poner un mayor coeficiente de antes de la función.

Answer 1

Hay muchos grandes funciones, p. ej. $e^n$, $n!$ etc.

Y se puede saber que $e^n$ crece más rápido de lo $n^k$ cualquier $k\geq 1$.

Pero hay otras funciones interesantes, por ejemplo, el Busy Beaver función. Es asymtotically crece más rápido que cualquier función computable. Eso significa que usted no puede incluso escribir un programa de computadora que produce un crecimiento más rápido de la función.

Lo interesante de esto es: El busy beaver función está bien definida, pero no computable:)! Esta función realmente le da una cota superior para el crecimiento de las funciones computables (por ejemplo, crece mucho más rápido que cualquier función que sólo contiene hyperoperators o el ÁRBOL de la función).

edit: por supuesto, hay más y más rápido crecimiento de funciones.

Answer 2

Buscar en hyperoperators.

https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperoperation

Se trata de una secuencia de operadores binarios, cada uno generando un número mayor que el anterior. Definir $f_n(x) = n \uparrow^n x$. Ahora tienes una secuencia infinita de las funciones, cada uno en la secuencia crece más rápido que el anterior. Y crecen mucho más rápido que $n!$.

Answer 3

No hay ninguno. Dada cualquier función de $\mathbb R$ $\mathbb R$, no es difícil construir otra función que crece más rápido que él.

Answer 4

Existe ninguna función más grande, más de lo que hay un número más grande. Tomar la función más grande que usted puede pensar, llamada su pendiente $f'(x)$. Ahora doble función - han duplicado su cuesta a $2f'(x)$.

Answer 5

Dada una secuencia de funciones $fi:\mathbb N \to \mathbb N$, que $f\infty:\mathbb N \to \mathbb N$ ser definido por el $$f_\infty(n) = 1+\max{f_1(n),f_2(n),\dotsc,fn(n)}$$ $ f\infty$ is eventually greater than any function in the sequence $f_i$.

Alternativamente podemos definir $f\infty$ por $$f\infty(n)=1+\sum_{i=1}^nf_i(n)$ $ este tipo de argumento se llama un argumento diagonal.