¿Por qué dividir ambos lados de este sistema de ecuaciones entre sí produce infinitas "soluciones incorrectas"?

Question

Esto puede ser básico, pero soy muy malo en matemáticas básicas. Estoy tratando de resolver el siguiente sistema de ecuaciones: $$\sqrt{x^2+y^2}\cdot \left(x-5\right)=6x+y \tag{1},$$ $$\\\sqrt{x^2+y^2}\cdot \left(y-1\right)=6y-x-2 \etiqueta{2}$$ Los pongo en Wolfram Alpha para probar el resultado, y que los rendimientos de 3 soluciones, que supongo que es cierto. Todo muy bien y dandy.

Pero entonces no podía saber cómo avanzar. Así que decido dividir $(2)$$(1)$. lo que da: $$\frac{y-1}{x-5}=\frac{6y-x-2}{6x+y} \tag{3}$$

Después de un par de cálculos, pensé que esta es una ecuación de un círculo. $$y^2+29y=-x^2+9x+10 \tag{4}$$ lo cual implica que hay un número infinito de soluciones. Lo que significa que estoy equivocado.

Así que ¿alguien puede decirme qué he hecho mal? Y si es posible me enseñe a resolver el sistema de ecuaciones por favor? Gracias! :D

Answer 1

Dividiendo (o, en general, "combinar") varias ecuaciones pueden utilizarse para derivar nuevas ecuaciones que necesariamente debe mantener, pero son no equivalente al sistema original. Considerar, por ejemplo:

$$\begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \end{casos}$$

El de arriba es un bien definido sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, y tiene, obviamente, la única solución de $x=y=1\,$. Dividiendo las ecuaciones, sin embargo, da $\,\dfrac{x}{y}=1 \iff x=y\,$ con una infinidad de soluciones. Pero no todos los de aquellos que satisfacen el sistema original, en realidad uno solo.

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[ EDITAR ] Sobre el "cómo resolver el sistema", la siguiente resume un enfoque posible, a pesar de que los cálculos de convertirse en algo tedioso.

Deje $\,r=\sqrt{x^2+y^2} \ge0\,$, entonces el sistema se puede escribir como:

$$\begin{cases} \begin{align} r(x-5) &= 6x+y \\ r(y-1) &= 6y-x-2 \end{align} \end{casos} \quad\ffi\quad \begin{cases} (r-6)x - y = 5r \\ x + (r-6)y = r - 2 \end{casos}$$

La solución para $\,x,y\,$ le da:

$$\begin{cases} x = \dfrac{5 r^2 - 29 r - 2}{r^2 - 12 r + 37} \\[10px] y = \dfrac{r^2 - 13 r + 12}{r^2 - 12 r + 37} \end{casos} \etiqueta{*}$$

La sustitución de la anterior en $\,r^2=x^2+y^2\,$ da entonces, sucesivamente:

$$\begin{alignat}{2} && r^2(r^2 - 12 r + 37)^2 &= (5 r^2 - 29 r - 2)^2 + (r^2 - 13 r + 12)^2 \\ && r^6 - 24 r^5 + 192 r^4 - 572 r^3 + 355 r^2 + 196 r - 148 &= 0 \\ && (r - 1) (r^2 - 12 r + 37) (r^3 - 11 r^2 + 4) &= 0 \end{alignat}$$

El último factorización da la raíz de $\,r=1\,$, y el cúbicos factor da dos más positiva que las raíces reales. La sustitución de los de vuelta en $\,(*)\,$ da las soluciones en $\,x,y\,$.

Answer 2

Al dividir las dos ecuaciones, se está produciendo otra constante de la ecuación que debe ser satisfecho (a excepción, quizá, donde el denominador de la ecuación resultante se desvanece, donde la división de operación implica la división por cero), pero no todas las soluciones de la ecuación nueva necesidad, una solución de las ecuaciones originales.

En este caso, he encontrado una nueva condición, a saber, que todas las soluciones deben encontrarse en el círculo con la ecuación dada, que puede ayudarle a encontrar la solución(s) del sistema.

Answer 3

A partir de este comentario:

se produce sólo una ecuación, mientras que el sistema original tenía dos. Una ecuación general elimina un grado de libertad de la, en este caso, original de los 2 grados, por lo que obtener un 1-dimensional del conjunto solución.

Tomar un ejemplo más sencillo:

$$\begin{cases} x+y = 1 \\ x-y = 1 \end{casos}$$

La única solución es $(x,y)=(1,0)$. Normalmente se puede llegar a la solución mediante la adición de ambos lados para obtener

$$2x=2 \tag{*}$$

y como resolverlo

$$x=1$$

Pero luego de llegar de nuevo a (el uno) de las ecuaciones originales, sustituto $x$ usted ya conoce y resuelve $y$. Esto significa que cuando la escritura (*) que realmente significa algo así como:

$$\begin{cases} x+y = 1 \\ 2x = 2 \end{casos}$$

o

$$\begin{cases} 2x = 2 \\ x-y = 1 \end{casos}$$

Nota si el sistema original se incluye un parámetro de $\alpha$ como esta

$$\begin{cases} x+y = 1 +\alpha \\ x-y = 1 -\alpha \end{casos} \etiqueta{**}$$

a continuación, usted podría conseguir el mismo (*)! Cuando usted resolver y obtener un $x=1$, el formulario puede sugerir una solución única. Pero su dominio se sigue de dos dimensiones y lo que realmente se consigue es

$$1x+0y=1$$

resuelto por

$$\{(x,y):x=1, y \in R \}$$

(o puede ser $C$ en lugar de $R$ si permite a los números complejos). Esto no es una solución única. Elegir cualquier solución única de dentro de este conjunto y hay un cierto valor de $\alpha$ que hace que la solución elegida resolver (**).

De hecho, ( * ) los agregados de soluciones para todas las versiones posibles de (**). Por ir de (**) a (*) y la resolución de la suela último, se pierde la información de lo $\alpha$ es.

Entonces, ¿dónde está similares parámetro en su caso, ya que dividir sus ecuaciones originales? Aquí:

$$\begin{cases} \sqrt{x^2+y^2}\cdot \left(x-5\right)=\left(6x+y\right)\cdot\beta \\ \sqrt{x^2+y^2}\cdot \left(y-1\right)=\left(6y-x-2\right)\cdot\beta \\ \beta\neq0 \end{casos} \etiqueta{***}$$

Conduce al círculo que tiene pero el círculo no depende de $\beta$. No he investigado si cada punto del círculo resuelve (***) para un cierto valor de $\beta$, pero a mí me parece que cada solución de (***) para cualquier posible $\beta$ pertenece al círculo. El círculo de los agregados de soluciones a los diferentes sistemas de ecuaciones.

Teniendo un único punto que pertenece al círculo, no sabes si se soluciona (***) por $\beta=1$ (que es tu caso) hasta que se enfrentan con algo que especifica $\beta=1$ de alguna manera. Puede ser alguna de las dos ecuaciones originales, que establece implícitamente $\beta=1$.

Answer 4

Los otros ya te dio la respuesta sobre cómo resolverlo, esta es una observación complementaria. Observar el siguiente: Supongamos que tenemos la siguiente ecuación, se tiene un conjunto de soluciones de asociado (se muestra a la derecha):

$$x=\pi \tag*{$S_1=\{\pi\}$}$$

Ahora, ¿qué pasa cuando nos cuadrado ambos lados?

$$x^2=\pi^2 \tag*{$S_2=\{\pi,-\pi\}$}$$

Lo que si tomamos la primera ecuación y aplicar la función seno en ambos lados?

$$\sin(x)=\sin(\pi)=0 \tag*{$S_3=\{\pi n : n\in \Bbb{Z}\}$}$$

Así, la aplicación de una función a ambos lados de la ecuación puede estropear las soluciones y llegar con más o menos soluciones: No se $2$ soluciones para $S_2$, pero infinitas soluciones para $S_3$. Observar que $3\pi$ no será una solución de la primera ecuación, ni a la segunda. Usted debe tratar de "seguir la pista" de que el conjunto de soluciones como transformar las ecuaciones.

Answer 5

Contrario a su pensamiento, la división no es el culpable. Por cierto, no toma nada de la división de combinar las ecuaciones en

$$(6x+y)(y-1)=(6y-x-2)(x-5)$$

que es de hecho la de un círculo. (Se multiplica la primera por $y-1$ y el segundo por $x-5$ y equiparar el lado izquierdo.)

Pero lo que olvidó es que tiene un sistema de ecuaciones y soltando uno de ellos, que amplía el conjunto solución. Lo que usted debe considerar es la aumentada del sistema

$$\begin{cases}\sqrt{x^2+y^2}\cdot \left(x-5\right)=6x+y ,\\\sqrt{x^2+y^2}\cdot \left(y-1\right)=6y-x-2, \\x^2+y^2-9x+29y-10=0.\end{casos}$$

Las dos primeras curvas tienen tres puntos de intersección (dos de ellos están muy juntas, la mente de la pequeña blue loop). Y cuando se cruzan, ya sea de la curva con el círculo, se encuentran cuatro intersecciones. Estos puntos aparecen en $y=1$ o $x=5$, lo que hace que una curva de ecuación se desvanecen.