Demuestre por inducción que$1^3 + \dots + n^3 = (1 + \dots + n)^2$

Question

Se supone que debo probar por inducción:$1^3 + \dots + n^3 = (1 + \dots + n)^2$

Este es mi intento; Estoy atascado en el problema de factorizar puntos.

Answer 1

Su intento se ve bien como (a excepción de una falta de superíndice $2$ a un punto, pero que no causa más errores).

Para probar que algo es igual a $1^3+2^3+3^3+4^3+\cdots+n^3$, uno debe mostrar que cada paso de la cantidad que se agrega es el siguiente cubo.

Entonces, ¿cuánto tiene que ser añadido a $(1+2+\cdots+n)^2$ conseguir $(1+2+\cdots+n+[n+1])^2$? Tenemos que mostrar que ese es el siguiente cubo, $(n+1)^3$. La cantidad que se añade es $$ \begin{align} & \phantom{={}} (1+2+\cdots+n+[n+1])^2 - (1+2+\cdots+n)^2 \\[6pt] & = (A + [n+1])^2 - (A)^2 \\[6pt] & = A^2 + 2A[n+1]+[n+1]^2 - A^2 \\[6pt] & = 2A[n+1] + [n+1]^2. \end{align} $$ Ahora aquí es útil saber que $$ A = 1 + 2 + 3 + \cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}. $$ Así, la diferencia anterior es $$ 2A[n+1]+[n+1]^2 = n(n+1)[n+1]+[n+1]^2 $$ y esto se simplifica a $$ n^3+3n^2+3n+1 $$ y, finalmente, a $$ (n+1)^3. $$ Luego, hay el problema de la organización que en un presentable prueba por inducción.

Answer 2

Sugerencia: $$ (n +1) ^ 3 = (n +1) (n +1 + n (n +1)) = (n +1) (n +1 +2 (1 +2 + \ dots + n )) \\ $$ Then $$ (1 + \ dots + n) ^ 2 + (n +1) ^ 3 = (n +1) ^ 2 +2 (n +1) (1 +2 + \ dots + n) + (1 +2 + \ dots + n) ^ 2 \\ = (1 +2 + \ dots + n + (n +1)) ^ 2 $$