Necesito ayuda con esta tarea de que se trate. Me pidieron que dé un ejemplo de una $n$-dimensiones subespacio $W$ $L^2[0,1]$ de manera tal que todas las funciones en que el subespacio con $L^2$ norma igual a $1$ satisfacer ese $\Vert f\Vert_\infty\le\sqrt{n}$. Creo que voy a tener que encontrar un ejemplo que lo anterior es cierto para todos los $n$.
No sé por dónde empezar. No estoy seguro de si esto ayuda, pero en las anteriores preguntas en la tarea se me mostró que si $S$ es un subespacio de $C[0,1]$ (que es cerrado por el subespacio de $L^2[0,1]$), a continuación, $\Vert f\Vert_{\infty}\le M\Vert f\Vert_2$ todos los $f\in S$.
En la segunda parte de esta pregunta, voy a necesitar para demostrar que si $W$ $n$- dimensiones subespacio de $L^2[0,1]$, y todos los elementos de a $W$ son funciones continuas, entonces existe $f\in W$ s.t. $\Vert f\Vert_2=1$ $\Vert f\Vert_\infty\ge\sqrt{n}$.
