¿Es posible la transformación?

Question

Me encontré con este problema que pide a transformar $x^2-x-2$$x^2-x-1$, si es posible, utilizando las siguientes reglas:

Dada una ecuación cuadrática $ax^2+bx+c$ usted puede :

1)el Intercambio de $a$ $c$

2)Reemplace $x$ $x+t$ donde $t$ es un número real.

Mi planteamiento:

Escribí las ecuaciones como

${(x-\frac12)}^2-\frac94$ ${(x-\frac12)}^2-\frac54$

La sustitución de $x$ $x+t$ en la primera ecuación ${(x-\frac12+t)}^2-\frac94$ Y la creación de este igual a ${(x-\frac12)}^2-\frac54$

La simplificación y la de problemas que da una ecuación cuadrática con una variable $t$ Que sobre la aplicación de la fórmula cuadrática da $$t=\frac{1-2x\pm \sqrt{4x^2-4x+5}}{2}$$

Así que, ¿es correcto esto? Si es incorrecto, podría alguien ayudarme en la dirección correcta?

Answer 1

Comenzamos con un$ax^2+bx+c$ cuadrático y usamos uno de los pasos para transformarlo en$a'x^2+b'x+c'$. En el primer caso, tenemos$a'=c,b'=b,c'=a$, en el segundo caso, tenemos$a'=a, b'=b+2at, c'=c+bt+t^2$. Tenga en cuenta que en el primer caso, tenemos$b'^2-4a'c'=b^2-4ac$ y en el segundo caso$b'^2-4a'c'=b^2+4abt+4a^2t^2-4a(c+bt+t^2)=b^2-4ac$. En otras palabras, uno de los pasos permitidos cambia la discriminación de nuestro cuadrático. Por lo tanto, al comenzar desde$x^2-x-2$ con discriminante$9$, no podemos alcanzar$x^2-x-1$ con discriminante$5$.

Answer 2

Deje $f(x)=ax^2+bx+c$. Las 2 operaciones que se pueden realizar es equivalente a la conversión de $f(x)$ a los siguientes respectivamente:

1. $x^2f(\frac{1}{x})$
2. $f(x+t)$

Por lo tanto, si $\alpha$ $\beta$ son las raíces de $f(x)$, $1^{st}$ transformación da un polinomio con raíces $\frac{1}{\alpha}$ $\frac{1}{\beta}$ e las $2^{nd}$ transformación da un polinomio con raíces $\alpha - t$$\beta -t$.

Ahora, el método general para resolver este tipo de problemas es encontrar algo que permanece invariable. Ahora, si nos fijamos en las raíces de $x^2-x-2$ ($2$ y $-1$) y las raíces de $x^2-x-1$
( $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ ), podemos ver que vamos a empezar con un polinomio racional raíces y terminar con un polinomio con raíces irracionales que no es posible mientras $t$ es racional.

Pero esto no es posible si $t$ es irracional. Si $t$ es irracional, entonces, por el contrario, podemos mostrar que el discriminante permanece invariable en cada transformación, que es lo que Hagen .