Resolver la integral $\frac 1 {\sqrt {2 \pi t}}\int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-\frac {x^2} {2t}}dx$

Question

Para encontrar la Varianza de un Proceso de Wiener, $Var[W(t)]$, tengo que calcular la integral $$ Var[W(t)]=\dots=\frac 1 {\sqrt {2 \pi t}}\int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-\frac {x^2} {2}}dx=\dots=t. $$ He tratado de integración por partes para resolver la integral, pero terminan con $$ \dots=\frac 1 {\sqrt {2 \pi t}} \left(0 - \int_{-\infty}^{\infty} -\frac {x} {t} \cdot e^{-\frac {x^2} {2}}\cdot \frac {x^3} 3 dx\right), $$ lo que es aún peor y probablemente equivocada.

Puede alguien por favor me ayude a calcular la primera integral y mostrar cómo se hace igual a $t$?

(Sé que la Varianza de un Proceso de Wiener Estándar (movimiento Browniano)se define como el $t$ pero quiero probar con la integral anterior).

Answer 1

Aviso, $$\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int{-\infty}^{\infty}x^2e^{-\frac{x^2}{2t}}\ dx $$ By symmetry of even function, $$=2\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int{0}^{\infty}x^2e^{-\frac{x^2}{2t}}\ dx $$$$=\sqrt{\frac{2}{\pi t}} \int {0} ^ {\infty} x ^ 2e ^ {-\frac {x ^ 2} {2t}} \ dx $$ deje % o $\frac{x^2}{2t}=u\implies \frac{x}{t}\ dx=du$ $dx=\frac{t}{\sqrt{2tu}}\ du=\sqrt{\frac{t}{2}}\frac{ du}{\sqrt u}$, $$=\sqrt{\frac{2}{\pi t}}\int{0}^{\infty}(2tu)e^{-u} \sqrt{\frac{t}{2}}\frac{ du}{\sqrt u}$ $ $$=\frac{2t}{\sqrt {\pi}}\int_{0}^{\infty}u^{1/2}e^{-u}\ du$ $ utilizando la transformación de Laplace: $\color{blue}{\int0^{\infty}t^ne^{-st}\ dt=\frac{\Gamma(n+1)}{s^{n+1}}}$, $$=\frac{2t}{\sqrt {\pi}}\left[\frac{\Gamma\left(1+\frac{1}{2}\right)}{s^{1+\frac{1}{2}}}\right]{s=1}$ $ $$=\frac{2t}{\sqrt {\pi}}\left[\frac{\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{(1)^{3/2}}\right]$ $ $$=\frac{2t}{\sqrt {\pi}}\left[\frac{1}{2}\sqrt \pi\right]=\color{red}{t}$ $

Answer 2

Sugerencia: No $a=\dfrac1{2t}.~$ nos queda evaluar $\displaystyle\int{-\infty}^\infty x^2e^{-ax^2}~dx.~$ pero este último puede ser escrito como $-\dfrac d{da}\displaystyle\int{-\infty}^\infty e^{-ax^2}~dx.~$ puede tomar desde aquí? ;-$)$

Answer 3

La forma más sencilla de resolver esta integral es probablemente conjunto t=1/u, entonces la función dentro de la integral es la derivada de la Gaussiana de la densidad con respecto a u. Después del intercambio de la integración y la derivada parcial (esto es física, por lo que no necesitamos para demostrar que esto es posible) el trabajo restante es trivial.

Si todo lo que usted necesita es la solución, está en https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_Gaussian_functions

Answer 4

Puede eludir la integración si observa que usted integrar es el pdf de una variable aleatoria normal veces $x^2$.

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Puesto que ya están en procesos de Wiener, supongo que puede reconocer una distribución normal. ¿Puedes ver el pdf de una variable aleatoria normal dentro de la integral? Para ver esto, escribir $$\frac 1 {\sqrt {2 \pi t}}\int{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-\frac {x^2} {2t}}dx=\int{-\infty}^{\infty} x^2 \underbrace{\frac 1 {\sqrt {2 \pi t}}e^{-\frac {x^2} {2t}}}_{density}dx=\mathbb E[X^2]$$ where $X $ is a random variable that is normally distributed with mean $μ = 0 $ and variance $σ ^ 2 = t $, i.e. its probability density function is $$f_X(x)=\frac 1 {\sqrt {2 \pi t}}e^{-\frac {x^2} {2t}}$$ as it appears above. Therefore $% $ $\mathbb E[X^2]=Var(X)+\mathbb E[X]^2=t-0^2=t$

Answer 5

Desde $t>0$, se puede hacer la sustitución $$ x = u\sqrt {2t} $ que trae el integral en $$ \frac{1}{\sqrt{2\pi t}} \int {-\infty} ^ \infty 2tu ^ 2e ^ {-u ^ 2} \sqrt {2t} \,du = 2ue \frac{t}{\sqrt{\pi}}\int{-\infty}^\infty u\cdot ^ {-u ^ 2} \,du $$ ahora integrar por piezas con $u$ como parte finito y $2ue^{-u^2}$ como parte diferencial: $$ = \frac {t} {\sqrt {\pi}} \left (\Bigl [-ue ^ {-u ^ 2} \Bigr] {-\infty} ^ {\infty} + \int{-\infty}^\infty e ^ {-u ^ 2} \,du\right) $$ la primera parte es $0$, la segunda se sabe que rendimiento $\sqrt{\pi}$.