¿Cómo calcular$\sin^{-1}(\cos 2x)$ en diferentes dominios?

Question

¿Qué es$\sin^{-1}(\cos 2x)$ cuando$x \in [\pi/2,3\pi/2]$?

Intenté$$\sin^{-1}(\cos 2x)=\sin^{-1}(\sin (\pi/2-2x))=\pi/2-2x$ $

Sin embargo, resulta ser la solución cuando$x \in [0, \pi/2]$.

y la solución cuando$x \in [\pi/2,3\pi/2]$ es$$2x-3\pi/2$ $ Entonces, ¿cómo relacionar la solución con diferentes dominios?

Answer 1

Como $\cos^{-1}y+\sin^{-1}y=\dfrac\pi2$

$\sin^{-1}(\cos2x)=\dfrac\pi2-\cos^{-1}(\cos2x)$

Como $\pi\le2x\le3\pi,$

$\cos^{-1}(\cos2x)=2\pi-2x$ para $\pi\le2x\le2\pi$

Por $2\pi<2x\le3\pi,\cos^{-1}(\cos2x)=2x-2\pi$

Answer 2

Aquí, presentamos un enfoque sistemático para el problema de interés. Para ello vamos a proceder.

Tenga en cuenta que para $\theta\in [(n-1/2)\pi,(n+1/2)\pi]$, tenemos

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\arcsin(\sin(\theta))=(-1)^n(\theta-n\pi) }\tag 1$$

Deje $\theta=\pi/2-2x$$(1)$.

CASO $1$: $\displaystyle x\in[\pi/2,\pi]$

Si $x\in [\pi/2,\pi]$,$\theta\in[-3\pi/2,-\pi/2]$. El uso de $(1)$ $n=-1$ revela

$$\begin{align} \arcsin(\cos(2x))&=\arcsin(\sin(\theta))\\\\ &=-(\theta+\pi)\\\\ &=-(\pi/2-2x+\pi)\\\\ &=2x-3\pi/2 \end{align}$$

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CASO $2$: $\displaystyle x\in[\pi,3\pi/2]$

Si $x\in [\pi,3\pi/2]$,$\theta\in[-5\pi/2,-3\pi/2]$. El uso de $(1)$ $n=-2$ revela

$$\begin{align} \arcsin(\cos(2x))&=\arcsin(\sin(\theta))\\\\ &=\theta+2\pi\\\\ &=\pi/2-2x+2\pi\\\\ &=5\pi/2-2x \end{align}$$