¿En el espacio euclidiano, el interior del conjunto finito está vacío?

Question

Me parece que estoy un poco perdido en ciertos conceptos. Me piden demostrar que si $W\subset\mathbb{R}^n$ es un subespacio lineal (un subespacio vectorial) de $\mathbb{R}^n$,$W\ne \mathbb{R}^n$, entonces el interior de $W$ es el conjunto vacío.

Pero, ¿cómo es esto posible? Tomemos, por ejemplo, $\mathbb{R}^2\subset \mathbb{R}^3$. Considere la posibilidad de abrir un balón $B(0;r)$ radio $r$$0$$\mathbb{R}^2$. No tenemos entonces que el interior de $B(0;r)$ $B(0;r)$ sí? También, para cada $r>0$ y cada $x\in\mathbb{R}^2$, $B(x;r)\in\mathbb{R}^2$, de modo que el interior de $\mathbb{R}^2$$\mathbb{R}^2$.

También, en Wikipedia se dice que el interior de cualquier subconjunto finito de un Eucledian espacio está vacío. De nuevo, no veo cómo esto es posible.

¿Qué es lo que me estoy perdiendo aquí?

Answer 1

Vamos a abreviar su $B(0;r)$ sólo $B$.

El interior de la $B$, como un subconjunto de un espacio topológico $\mathbb R^2$ $B$ sí, porque la $B$ es abierto en la topología de $\mathbb R^2$.

Pero $B$ no es abierto en la topología de $\mathbb R^3$. De hecho, $B$ no contiene ningún abrir pelota en $\mathbb R^3$. Por lo que el interior de $B$ como un subconjunto de un espacio topológico $\mathbb R^3$ está vacía.

El interior de la operación no acaba de funcionar en un conjunto de por sí; opera sobre un subconjunto de un espacio topológico. Si cambia el espacio ambiental, consigue un interior diferente.

Answer 2

Un subconjunto$W$ de$\Bbb R^n$ está abierto para cada punto$x\in W$ el conjunto$W$ también contiene una bola$B(x,r)$ ( de$\Bbb R^n$ ) de algún radio$r$ centrado en$x$. Las bolas son$n$ - cuerpos dimensionales, no "planos". Por ejemplo,

Toma por ejemplo, $\mathbb{R}^2\subset \mathbb{R}^3$. Considera una bola abierta$B(0;r)$ de radio$r$ alrededor de$0$ en$\mathbb{R}^2$.

$B(0,r)=\{x\in\Bbb R^3:\|x\|<r\}$. Si$x=(x_1,x_2,x_3)$ luego$\|x\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x^2_3}$, todos los puntos$(r/2,0,0)$,$(0,r/2,0)$ y$(0,0,r/2)$ pertenecen a$B(0,r)$.

Answer 3

En orden para cualquier conjunto $S$ en topológico, espacio no vacío interior, debe contener un conjunto abierto $U$. Explícitamente, $U \subseteq S$. Si usted está trabajando con la base de una topología esto es equivalente a decir que existe un conjunto abierto contenido en a $S$.

Usted debe ser capaz de ver que la única manera de que un conjunto finito puede tener interior es si existe al menos un conjunto finito en el espacio que está abierto. Ciertamente, esto no puede suceder en la topología Euclidiana.

Cuando usted mira a $\mathbb {R}^2$ como un subconjunto de a$\mathbb {R}^3$, entonces usted espera debe ser capaz de convencer a sí mismo que usted puede ajustar a un (tres dimensiones) de la bola en el interior del avión, por lo $\mathbb {R}^2$ no contiene básica abierta pone en $\mathbb {R}^3$, por lo que ha vacío interior.

Answer 4

Supongamos que$B(x, r)\subset W$ para algunos$x\in \mathbb{R}^n$ y$r > 0$.

Luego,$x\in W$, de ahí$-x\in W$. Si sigue eso$-x + B(x, r) = B(0, r)\subset W$.

Ahora, tome un$y\in\mathbb{R}^n$ arbitrario. Defina$\alpha = \frac{r}{2||y||}$ y$y_0 = \alpha y$. Desde que tenemos $||y_0|| <r$. Pero esto significa que también$y_0\in B(0, r)\subset W$. Como$\frac{1}{\alpha}y_0 = y\in W$ fue arbitrario,$y$.