Mapas exponenciales de $\mathbb{R}^n$ y $T^n$

Question

Esta es una pregunta del libro de Lee:

La definición del mapa exponencial en términos de los subgrupos de un parámetro parecía bastante abstracta, por lo que creo que entender completamente este ejercicio será útil. Según tengo entendido, si encontramos los subgrupos de un parámetro (es decir: las curvas integrales máximas de campos vectoriales invariantes a la izquierda que empiezan en $e$ ), hemos terminado. Así que queremos resolver $$ \cases{\gamma'(t)=X\\\gamma(0)=e} $$ Para $X\in \textrm{Lie}(G)$ . En el caso $G=\mathbb{R}^n$ , $\textrm{Lie}(G)\cong \mathbb{R}^n$ así que supongo que tenemos $\gamma(t)=Xt$ . ¿Y el toroide? Tal vez pueda usar eso $T^n\cong S^1\times\ldots\times S^1$ Pero, ¿cómo?

Actualización:

Lo que hice no es realmente correcto: debería haber escrito

$$ \cases{\gamma'(t)=X_{\gamma(t)}\\\gamma(0)=e} $$ Ahora, $X_{\gamma(t)}=L_{\gamma(t),*}(e)X_e$ . Pero ahora no sé cómo justificar que esto es simplemente $L_e$ . es decir ¿cómo puedo determinar $L_{\gamma(t),*}(e)$ ?

He probado lo siguiente: $L_{\gamma(t)}(x)=\gamma(t)+x$ (con $x\in\mathbb{R}^n$ ). Por lo tanto, la matriz para $L_{\gamma(t),*}(e)$ es $$ \left(\begin{array}{ccc} \frac{\partial L_{\gamma(t)}^{1}}{\partial x^{1}} & \ldots & \frac{\partial L_{\gamma(t)}^{1}}{\partial x^{n}}\\ \vdots & & \vdots\\ \frac{\partial L_{\gamma(t)}^{n}}{\partial x^{1}} & \ldots & \frac{\partial L_{\gamma(t)}^{n}}{\partial x^{n}} \end{array}\right) = I $$ y por lo tanto $L_{\gamma(t),*}(e)X_e=X_e$ . Así que ahora sólo queda el toroide.

Answer 1

Ver $S^1$ como $\{z\in\mathbb{C}\,|\,|z|=1\}$ . Si $X=(t_1,\ldots,t_n)$ , considere el mapa $\gamma\colon\mathbb{R}\longrightarrow\left(S^1\right)^n$ definido por $\gamma(x)=\bigl(e^{ixt_1},e^{ixt_2},\ldots,e^{ixt_n}\bigr)$ . Está claro que $\gamma$ es un homomorfismo y que $\gamma'(0)=X$ . Por lo tanto, $$\exp(X)=\gamma(1)=\bigl(e^{it_1},e^{it_2},\ldots,e^{it_n}\bigr).$$