Resolver una recursividad no lineal

Question

En el curso de algunos cómputos de investigación que he estado haciendo, topado con una recursividad $$ a_{n+3} = a_{n+2}a_{n+1} - a_n $ $

He tratado de averiguar si es posible resolver repeticiones de esta forma, pero no se puede encontrar mucho ya que es no lineal. Alguien sabe de métodos que podrían ser aplicables; ¿o en su defecto, si hay cualquier hipótesis sobre las condiciones iniciales que hagan solubles?

Espero que esto sea claro; No tengo ningún fondo en teoría de números o matemática discreta. Gracias.

Answer 1

Que $F_1,F_2,\dots$ ser una secuencia de Fibonacci-como, que $F_{n}=F_{n-1} + F_{n-2}$ y que $$a_{n} = e^{F_{n}} + e^{-F_{n}} = 2\cosh F_n.$ $ entonces $$\begin{eqnarray} a_{n-1}a_{n-2} &=& \left(e^{F_{n-1}} + e^{-F_{n-1}}\right) \left(e^{F_{n-2}} + e^{-F_{n-2}}\right) \\ &=& e^{F_{n-1} + F_{n-2}} + e^{F_{n-1} - F_{n-2}} + e^{-F_{n-1} + F_{n-2}} + e^{-F_{n-1} - F_{n-2}} \\ &=& e^{F_{n}} + e^{F_{n-3}} + e^{-F_{n-3}} + e^{-F_{n}} \\ &=& a_{n} + a_{n-3}, \end{eqnarray} $$ cual es exactamente su recursividad. Esta familia de soluciones parametrizadas por $(F_1, F_2)$, sólo cubre parte de la gama completa de las condiciones iniciales $(a_1, a_2, a_3)$. En particular, cubrirá los casos dónde $$ a_3 = \frac{1}{2} a_1 a_2 \pm \frac{1}{2}\sqrt{\left(a_1^2-4\right)\left(a_2^2-4\right)}. $$