Pruébelo para todos$m, n \in \mathbb N$:$[1 + 3 +\cdots + (2n -1)]^m = n^{2m}$

Question

Tengo esto:

Pruébelo para todos$m, n \in \mathbb N$:$$[1 + 3 + \cdots + (2n - 1)]^m = n^{2m}

Para$n = 1: 1 = 1^2$, por lo tanto, P (1) es verdadero.

Permita que se dé$N \in \mathbb N$ y asuma:$$[1 + 3 + \cdots + (2N - 1)]^m = N^{2m}

Para$n = N + 1$:$$[1+3+\cdots+(2N-1)+(2(N+1)-1)]^m = (N+1)^{2m}

Pero no sé qué hacer o si ya cometí un error.

Answer 1

Además de la prueba estándar por inducción para la suma de los primeros números impares$1+3+\cdots +(2n-1)$, estoy bastante seguro de que todos ustedes conocen la bella "prueba de imagen":

Answer 2

Pruébalo para$m=1$ usando la inducción en$n$. Entonces exponencial.

Answer 3

Tenga en cuenta que$$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}

Por lo tanto, $$1+3+\cdots+(2n-1) = (1+2+\cdots+(2n))-(2+4+\cdots+(2n))$$$ $=(1+2+\cdots+(2n))-2(1+2+\cdots+n)$ $$$=\frac{(2n)(2n+1)}{2}-2\cdot\frac{n(n+1)}{2}$$$ $=n^2$ $

Por lo tanto,$$\{1+3+\cdots+(2n-1)\}^m=(n^2)^m=n^{2m}

Answer 4

Umberto tiene la clave, y me siento como de escribir. Espero que no estoy malcriando a alguien la tarea.

$\textbf{Theorem.} \, \forall \, m,n \in \mathbb{N}, (1+3+...(2n-1))^m=n^{2m}.$

$\textbf{Proof.}$ Comenzamos probando que el $(1+3+...+(2n-1))=n^{2},$ por inducción en $n$, y luego a la conclusión de que $(1+3+...+(2n-1))^m=n^{2m}$ por las propiedades de los exponentes.

Para el caso base deje $n=1$. Entonces $$(2 \cdot 1-1)=1=1^2.$$

Suponga que la serie tiene por $n=k$. Entonces

$$(1+3+...+(2k-1))=k^2.$$

Para el paso inductivo, dejamos $n=k+1$ a mostrar que $$(1+3+...+(2k-1)+(2k+1))=(k+1)^2.$$ En el lado izquierdo de la igualdad tenemos, $$\begin{align*} (1+3+...+(2k-1)+(2k+1)) &= (1+3+...+(2k-1)) + (2k+1) \\ &= k^2 + (2k+1) \\ &= k^2+2k+1 \\ &= (k+1)^2. \end{align*}$$

Así, hemos demostrado que $$(1+3+...(2n-1))=n^{2}.$$

Ahora por la exponenciación en ambos lados por $m$,

$$\qquad\qquad (1+3+...(2n-1))=n^{2} \Rightarrow (1+3+...(2n-1))^m=n^{2m}. \qquad\qquad \blacksquare$$

Por favor, siéntase libre de refinar este, ya no me siento como escribir a máquina.