Ideal homogéneo y grado de los generadores

Question

Dejemos que $I$ sea un ideal homogéneo en un anillo conmutativo local graduado $R$ , $S$ sea su sistema mínimo homogéneo de generadores. Así, sabemos que la cardinalidad de $S$ es única como la dimensión del espacio vectorial $I/\mathfrak{m}I$ , donde $\mathfrak{m}$ es el ideal graduado máximo de $R$ .

Mi pregunta es la siguiente: ¿Es el grado de cada elemento de $S$ determinado de forma única por $I$ ?

Gracias por leer mi pregunta.

Answer 1

Arreglar $i\ge 1$ y que $S_i=S\cap I_i$ sea el conjunto de elementos de grado $i$ en $S$ . Demostremos que $S_i$ tiene $\dim_k (I/\mathfrak m I)_i$ elementos, donde $k$ es el campo de residuos de $R$ .

Dejemos que $f\in I_i$ . Entonces $$f=r_1 s_1 + \dots +r_n s_n$$ donde $r_j\in R$ son homogéneos y $S=\{ s_1, \dots, s_n\}$ . Podemos mantener los componentes homogéneos en $r_j$ del grado adecuado para que $\deg r_j+\deg s_j=i$ para todos $j\le n$ . Si $\deg r_j>0$ entonces $r_j\in \mathfrak m$ y $r_js_j\in \mathfrak m I$ . Esto significa que el módulo $\mathfrak m I$ , $I_i$ es generado por los elementos de $S_i$ .

Supongamos ahora que $s_1, s_2, \dots, s_m$ son los elementos de $S_i$ . Si $m$ es mayor que la dimensión de $I/\mathfrak m I$ como $k$ -espacio vectorial, entonces, hasta la renumeración, tenemos $$s_1\in t_2s_2+\dots + t_{m} s_{m} + \mathfrak m I, \quad t_i\in R$$ Ampliar $I$ con $s_1, \dots, s_n$ vemos que $s_1\in s_2 R + \dots + s_n R$ y $S$ no sería mínimo. Contradicción.

Answer 2

Si $R$ es un grado $K$ -entonces la respuesta es sí (en el siguiente sentido): exactamente $\dim_K (I/\mathfrak{m}I)_i$ entre los elementos de $S$ tener un título $i$ .