¿Esta integral de Riemann sobre $[0,1]^2$ ¿Existe?

Question

A la espera de respuestas a este pregunta He investigado un poco y he encontrado esta función en $[0,1]^2$ : $f(x,y) = 0$ si $x$ o $y$ es irracional y $f(x,y) = 1/q$ si $x$ y $y$ son racionales y $x = p/q$ en términos mínimos.

Se afirma que la integral doble de Riemann $\int_{[0,1]^2}f$ existe desde $f$ es continua en casi todas partes, pero si $x$ es racional, entonces $\int_0^1 f(x,y)dy$ no existe como integral de Riemann.

Entiendo la segunda parte ya que $f(x,y)$ se parece a la función de Dirichlet (cuando $x =p/q$ fijo) alternando entre $1/q$ y $0$ para racionales e irracionales $y$ . Sólo porque $f$ alterna entre $0$ y un valor variable distinto de cero fuera y dentro de una cuadrícula racional no hace que sea completamente obvio sobre la continuidad.

Así que me gustaría ver cómo demostrar la primera parte directamente usando sumas de Darboux.

Answer 1

Evidentemente, para cualquier partición $P$ de $[0,1]^2$ la suma inferior satisface $L(P,f) = 0$ ya que los irracionales son densos.

Dado $\epsilon >0$ , elija un número entero positivo $N > 1/\epsilon$ .

El conjunto $A_N = \{x \in \mathbb{Q} \cap [0,1]: x = p/q, (p,q) = 1, q \leqslant N \}$ es finito. Aquí tenemos los números racionales en $[0,1]$ donde en términos mínimos el denominador en $x = p/q$ no es mayor que $N$ . Dejemos que $m = \#(A_N)$ .

Una suma superior puede dividirse en una suma sobre subrectángulos (1) que incluyen y (2) que excluyen puntos $(x,y)$ con $x \in A_N$ :

$$U(P,f) = \sum_{(1)}M_j \, vol(R_j) + \sum_{(1)}M_j \, vol(R_j)$$

donde $M_j$ es el supremum de $f$ sobre el subrectángulo $R_j$ .

Para la primera suma, hay como máximo $4m$ subrectángulos $R_j$ incluyendo los puntos en los que $f(x,y) = 1/q \geqslant 1/N$ . Así, $1/N \leqslant M_j \leqslant 1$ . Elegir una partición en la que el mayor subrectángulo tenga un contenido inferior a $\epsilon/m$ tenemos

$$\sum_{(1)} \leqslant 4m \cdot 1 \cdot \sup_{R_j} vol(R_j) < 4\epsilon$$

Para la segunda suma, los subrectángulos no contienen puntos con $x \in A_N$ . Así, $M_j \leqslant 1/N < \epsilon$ y

$$\sum_{(2)} \leqslant \epsilon \sum_{(2)} vol(R_j) < \epsilon.$$

Por lo tanto, hay una partición $P$ tal que $U(P,f) < 5\epsilon$ demostrando que $f$ es integrable en Riemann y

$$\int_{[0,1]^2} f = 0$$