Dos definiciones de $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{n}}(l)$

Question

Por un lado, podemos definir $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{n}}(l)$ como la gavilla inversible con banalizar la cubierta ${D(X_i): i\in {0,...,n}}$y transición funciones $\left(\frac{X_i}{X_j}\right)^l$.

Por otra parte, podemos definirlo como la gavilla de módulos inducida por el módulo calificado $KX_0,...,X_n$.

Me gustaría que estas definiciones son equivalentes a prueba. Una manera podría encontrar funciones de transición para la gavilla de la segunda definición. Si son $\left(\frac{X_i}{X_j}\right)^l$ hemos terminado, pero me estoy encontrando difícil demostrarlo.

Answer 1

Para cualquier gavilla de $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}$ módulos de $\mathcal{F}$$\mathbb{P}^n$, vamos a $\Gamma_*(\mathcal{F})= \bigoplus_{n\in\mathbb{Z}} \Gamma(\mathcal{F}\otimes\mathcal{O}(n))$. Ahora, vamos a $\mathcal{F}$ ser un quasicoherent gavilla de $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}$ módulos. Luego hay un isomorfismo natural $\beta:\widetilde{\Gamma_*(\mathcal{F})}\to\mathcal{F}$ (esto es Hartshorne II.5.15). Después de la identificación de $\Gamma_*(\mathcal{O}(l))=K[X_0,\cdots,X_n](l)$, vamos a aplicar esta norma para mostrar lo que usted desea.

La identificación de $\Gamma_*(\mathcal{O}(l))$: recordar que $\Gamma(\mathcal{O}(a))$ es el conjunto de polinomios homogéneos de grado $a$$X_0,\cdots,X_n$. Esto significa que $\Gamma_*(\mathcal{O}(l))=\bigoplus_{n\in\mathbb{Z}} (K[X_0,\cdots,X_n])_{(n+l)}$, lo que exactamente significa que $\Gamma_*(\mathcal{O}(l))=K[X_0,\cdots,X_n](l)$.

Honestamente el cálculo de la transición de las funciones debe ser posible mediante el isomorfismo $\Gamma(\widetilde{M(l)}|_{D(f)},D(f))\cong (M_f)_l$ donde el primer subíndice es la localización y el segundo es el de "tomar el $l^{th}$ pieza clasificada", pero me confundo por esto también.

Answer 2

Tengo que decir que me resulta bastante confuso a mí también, sobre todo cuando estaba leyendo Hartshorne.

Vamos a calcular la sección global de la gavilla $\mathcal O_{P^n}(l)$. Deje $s$ ser una sección, me.e una familia de regular mapa de $s_i : U_i \to \mathbb C$ tal que $\phi_{ij} s_i = s_j$ donde $\phi_{ij} = (\frac{x_i}{x_j})^l$. (Por lo general la gente escribía $\phi_{ji}$ lo que escribiste $\phi_{ij}$, pero esto no es tan importante) .

Veamos $U_0$$U_1$,$s_0 = f/x_0^a$$s_1 = g/x_1^b$. Desde $(\frac{x_0}{x_1})^l s_0 = s_1$ tenemos $x_0^{l-a}f = x_1^{l-b} g$. En particular, $0 \leq a, b \leq l$ e.g el lado derecho no tiene polos en $x_0$ por lo que el LHS demasiado. Si $a < l$ podemos multiplicar tanto el numerador y el denominador por $x_0^{l-a}$, yo.e podemos suponer $a = b = l$. Así que tenemos la igualdad de $f/x_0^l = (\frac{x_1}{x_0})^l g/x_1^l$, esto significa exactamente que en el hecho de $f = g$, y un argumento similar muestra que para cualquier $i$, $s_i = f/x_i^l$. De ello se desprende que una sección de $\mathcal O_{P^n}(l)$ es exactamente un homogénea $f \in k[x_0, \dots, x_n]_l$.