Necesita una pista: demostrar que $r = a (\sin t) + b (\cos t)$ es un círculo, donde $ab \neq 0$

Question

"Demuestre que la ecuación polar $r = a \sin(t) + b \cos(t)$ , donde $ab \neq 0$ , representa una circunferencia, y encuentra su centro y su radio".

No necesito la respuesta, sólo necesito una pista que me impulse a seguir. He intentado resolverlo investigando las tangentes, completando cuadrados, forzando la fórmula de un círculo, etc., pero no consigo llegar a la conclusión indiscutible de que debe ser un círculo.

Por cierto, esto no es una tarea. Viene de un libro de texto de Cálculo que estoy estudiando por mi cuenta. Comprendo que no tiene motivos para creerme, pero si estuviera haciendo un curso de verdad, le llevaría esto a mi TA.

Answer 1

Una pista: Utilice las relaciones $\sin{t} = \frac{y}{r}$ , $\cos{t} = \frac{x}{r}$ y $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ para encontrar una ecuación cartesiana para el círculo.

Answer 2

Multiplique cada lado por $r$ Utilizar $r^2=x^2+y^2, r\sin t=y,r\cos t=x$

Pero no necesitamos $ab\ne 0$

Si $a=0,r=b\cos t\implies r^2=b r\cos t\implies x^2+y^2-bx=0$ $\implies (x-\frac b 2)^2+y^2=(\frac b 2)^2$ es un círculo.

Si ambos $a,b$ son $0, r=0\implies x^2+y^2=0$ que es punto-círculo.

Answer 3

Pista 1:

Computar $x$ y $y$ : $$ \begin{array}{lll} x&=r\cos(t)&=a\sin(t)\cos(t)+b\cos^2(t)&=\frac{a}{2}\sin(2t)+\frac{b}{2}(1+\cos(2t))\\ y&=r\sin(t)&=a\sin^2(t)+b\sin(t)\cos(t)&=\frac{a}{2}(1-\cos(2t))+\frac{b}{2}\sin(2t) \end{array} $$

Pista 2:

Por lo tanto, si establecemos $(b,a)=\sqrt{a^2+b^2}(\cos(\theta),\sin(\theta))$ obtenemos $$ (x,y)=\tfrac12(b,a)+\tfrac12\sqrt{a^2+b^2}\;(\cos(2t-\theta),\sin(2t-\theta)) $$

Respuesta: (pase el ratón por encima para ver)

Por lo tanto, la curva es un círculo de radio $\frac12\sqrt{a^2+b^2}$ centrado en $\frac12(b,a)$ .