$a+b\phi$ y$a+b-b\phi$ son asociados en$\mathbb{Z}+\phi \mathbb{Z}$, con$\phi=(1+\sqrt{5})/2$.

Question

Deje$a,b \in \mathbb{Z}$ tal que$a^2+ab-b^2=a+b$. Muestre que$a+b\phi$ y$a+b-b\phi$ son asociados en$\mathbb{Z}+\phi \mathbb{Z}$, con$\phi=(1+\sqrt{5})/2$.

Tengo que encontrar una unidad$u$ tal que$a+b\phi = u(a+b-b\phi)$. No tengo idea de cómo comenzar, ¿alguna pista? (Sé que ambos tienen la misma norma, pero eso es solo una condición necesaria)

Answer 1

A veces, solo debes hacer el cálculo:

ps

ps

Ya ha comprobado que estos elementos tienen la misma norma (por ejemplo, porque son conjugados), por lo que la norma de su proporción es$$ \frac{a + b - b\phi}{a + b\phi} = \frac{(a + b - b\phi)(a + b - b\phi)}{a^2 + ab - b^2} = \frac{(a+b)^2 - 2(a+b)b \phi + b^2 (1 + \phi)}{a + b} $, y se encuentra en$$= a+b - 2b\phi + \frac{b^2}{a+b} \phi = (a+b) + (a-2b-1)\phi$ según nuestro cálculo. Por lo tanto, es una unidad en$ 1 $, y los dos elementos son asociados.