Creo que este problema es muy común entre los principiantes lidiar con los límites. El significado de $$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1\tag{1}$$ is not that you can replace $\el pecado x$ by $x$ as if $\sin x = x$ when $x \a 0$. The meaning of equation $(1)$ is that whenever you see the expression $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x}$ then you can replace this entire expression by $1$. There is no more meaning to equation $(1)$ y cualquier enfoque para darle más significado sólo puede llevar a confusión (como se desprende de la pregunta actual).
El enfoque correcto para la evaluación de los límites es el uso de los teoremas de tratar con los límites. Tales teoremas son las leyes del álgebra de límites (incluyendo las condiciones exactas bajo las cuales son aplicables), el límite de la composición de funciones (regla de sustitución), el teorema del sándwich, L'Hospital de la Regla y del teorema de Taylor con Peano del resto.
Aquí el problema puede ser fácilmente resuelto mediante la factorización de numerador y el denominador de la siguiente manera
\begin{align}
L &= \lim_{x \to 0}\frac{(\sin x)^{2} - (x\cos x)^{2}}{x^{4}}\notag\\
&= \lim_{x \to 0}\frac{\sin x - x\cos x}{x^{3}}\cdot\frac{\sin x + x \cos x}{x}\notag\\
&= \lim_{x \to 0}\frac{\sin x - x\cos x}{x^{3}}\cdot\lim_{x \to 0}\left(\frac{\sin x}{x} + \cos x\right)\notag\\
&= 2\lim_{x \to 0}\frac{\sin x - x\cos x}{x^{3}}\notag\\
&= 2\lim_{x \to 0}\frac{\sin x - x}{x^{3}} + \frac{1 - \cos x}{x^{2}}\notag\\
&= 2(A + B)\notag
\end{align}
El segundo límite $B$ en el último paso se calcula fácilmente como $$B = \lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos x}{x^{2}} = \lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos^{2} x}{x^{2}(1 + \cos x)} = \frac{1}{2}\lim_{x \to 0}\frac{\sin^{2}x}{x^{2}} = \frac{1}{2}$$ The first limit $Un$ can be calculated via Taylor's series (or via L'Hospital's Rule) as follows $$B = \lim_{x \to 0}\frac{\sin x - x}{x^{3}} = \lim_{x \to 0}\dfrac{x - \dfrac{x^{3}}{6} + o(x^{3}) - x}{x^{3}} = -\frac{1}{6}$$ and hence the desired limit $L$ is given by $L = 2(a + B) = 2/3$.
Alguien puede preguntar: la factorización en el numerador es obvio (basado en el $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$) pero, ¿por qué nos factor de $x^{4}$ $x^{3}\cdot x$ y tal vez no $x^{2}\cdot x^{2}$? La respuesta es que uno de los factores en el numerador es $(\sin x + x\cos x)$ y esta vez dividido por $x$ da $((\sin x)/x + \cos x)$ que tiene un lugar bien definido el límite de $2$.
La siguiente pregunta es: ¿por qué no vincular el factor de $x$ en el denominador con el factor de $(\sin x - x\cos x)$ en el numerador? Después de todo esto también conduce a $((\sin x)/x - \cos x)$ que tiene un lugar bien definido el límite de $0$. Esto da lugar a un hecho importante acerca de las leyes del álgebra de límites, especialmente en el caso de producto.
La habitual declaración de producto de la ley de límites, dice que si tanto $\lim_{x \to a}f(x)$ $\lim_{x \to a}g(x)$ existe $\lim_{x \to a}f(x)g(x)$ también existe y $$\lim_{x \to a}f(x)g(x) = \lim_{x \to a}f(x)\cdot\lim_{x \to a}g(x)\tag{2}$$ Thus the rule requires us to first verify that limits of both the factors $f(x)$ and $g(x)$ existir. Más conveniente, la mejora en la regla anterior es la siguiente:
Si $\lim_{x \to a}f(x)$ existe y es distinto de cero entonces la siguiente ecuación $$\lim_{x \to a}f(x)g(x) = \lim_{x \to a}f(x)\cdot\lim_{x \to a}g(x)\tag{3}$$ holds irrespective of the fact whether $\lim_{x \a}g(x)$ exists or not. The meaning of equation $(3)$ is to be interpreted in this manner: if $\lim_{x \a}g(x)$ exists then $\lim_{x \a}f(x)g(x)$ also exists and its value is given by equation $(3)$. If $\lim_{x \a}g(x)$ does not exist then the behavior of $\lim_{x \a}f(x)g(x)$ is same as that of $\lim_{x \a}g(x)$.
La anterior formulación de la regla del producto es más útil en la práctica ya que requiere que usted para comprobar la existencia de límite de sólo uno de los factores y si este límite es distinto de cero se puede utilizar de forma segura el producto de la regla. Por lo tanto cuando se utiliza el producto de la regla siempre tiene sentido tener un factor distinto de cero límite, especialmente cuando usted no está seguro acerca del límite de otro factor. Sin embargo, nótese que si el límite de un factor es$0$, entonces usted debe investigar/analizar el límite de los otros factores antes de llegar a alguna conclusión sobre el límite del producto.
