¿Qué es la motivación para el producto directo? (categorías)

Question

Esta es la definición de producto directo: vamos a $\{X_i\}$, $i\in I$, ser una familia de objetos en categoría $C$. Un producto $(X; p_i)$ es un objeto $X$, junto con morfismos $p_i: X\rightarrow X_i$, con la característica universal: dado cualquier objeto $Y$ y morfismos $f_i:Y\rightarrow X_i$, no existe un único morfismos $f=\{ f_i\} :Y\rightarrow X$$p_if=f_i$.

De dónde viene la motivación para esta definición? ¿Cómo la gente viene con ella?

No veo ninguna forma natural para ir de producto Cartesiano (conjuntos) o producto directo de grupos (grupos) para esta definición categórica.

Answer 1

Una de las motivaciones es que muchos de los diferentes tipos de "productos" que uno encuentra en las diferentes áreas de matemáticas, por ejemplo, producto Cartesiano de conjuntos, producto de colectores, productos de grupos, etc. tiene algunas propiedades importantes en común que son independientes de sus realizaciones concretas (bueno, supongo que esta es la razón por la invención de la categoría de teoría en el primer lugar!), es decir, que contiene "la proyección de mapas", y que la especificación de una "función" (en general: morfismos) de un objeto en un producto es, en cierto sentido, equivalente a la definición de mapas independientes de entrar en cada uno de los factores del producto.

Por ejemplo, para dar un mapa de $f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}^2}$ es lo mismo que dar dos mapas $f_1:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}}$, $f_2:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}}$, los componentes de la función de $f$. También, para cada punto de $(x,y)$ en el avión, se puede proyectar hacia uno de los factores a través de por ejemplo,$\pi_{1}:\mathbb{R}^2:\rightarrow{\mathbb{R}}$, $\pi_{1}(x,y)=x$.

Es un instructivo ejercicio para demostrar que los ejemplos citados, de hecho, satisfacer el universal de la propiedad que usted ha mencionado.

Por supuesto, todos los ejemplos que he mencionado tienen el mismo conjunto subyacente de la estructura (es decir, producto directo de conjuntos), y por lo que también podría resultar interesantes para mirar más "exóticos", ejemplo.

Por ejemplo, si se denota por a $\mathbb{N}$ la categoría (mostrar esto!) donde los objetos son los números naturales $\{{1,2,.\ldots\}}$, y donde tenemos exactamente uno de morfismos de $m\rightarrow{n}$ fib $m$ divide $n$, ¿cuál es la categorial producto en este caso? Sugerencia: debe ser una noción familiar de la escuela elemental a la teoría de números (algunos dicen que las matemáticas de kindergarten ;) )

En cualquier caso, la utilidad de este "lenguaje" que señala algunas de las propiedades mas importantes que muchos (posiblemente muy diversos), los objetos matemáticos tienen en común, y uno puede entonces probar ciertos hechos acerca de todos ellos a la vez, en lugar de que le da esencialmente la misma prueba por separado en cada caso (uno para juegos, uno para grupos, uno para los colectores, etc.). En algunas de las áreas más avanzadas de las matemáticas (geometría algebraica especialmente viene a la mente), sino que también puede simplificar la notación, la concisión de las definiciones etc..

Sin embargo, estoy seguro de que alguien con más conocimiento sobre estos temas se puede expandir en mi respuesta!

Answer 2

Si usted mira Ch.11 de estos (aún incompleta) Notas sobre la Categoría de la Teoría encontrarás un extenso análisis de la motivación para la definición categórica de los productos.

Es más bien demasiado tiempo a repetir aquí, lo siento. Pero el enfoque básico es para nota de que el familiar de emparejamiento de dispositivos por ejemplo, para la construcción de pares a través de Kuratowski del dispositivo en la teoría de conjuntos, o la codificación de los pares por parte de potencias de números primos en la aritmética, obviamente son bastante arbitrarias y hay un montón de alternativas. Pero entonces, ¿qué? Estos dispositivos de trabajo en contexto. Pero ah, ¿qué "funciona"? Reflexionar sobre esa pregunta nos dice que lo que necesita son coincidentes codificación y decodificación de funciones que interactúan en ciertas maneras. No es mucho lo que está "en" las parejas que asuntos como el patrón de morfismos en y fuera. Que es un lugar categórica idea. Entonces pensamos en cómo implementar en la categoría de teoría adecuada. Y he aquí, tenemos la conocida definición categórica de los productos. Pero como digo, para el vestido de gala de la versión, consulte las Notas.

Answer 3

Otros usuarios ya han dado buenas respuestas, así que te voy a dar un ejemplo que muestra que los productos categóricos y sumas dan la correcta noción de la multiplicación y la adición de números naturales. Números naturales por supuesto puede considerarse los cardinalities de conjuntos finitos. Considerar la categoría de conjuntos finitos, con funciones como las flechas. Que $|X|$ denotan la cardinalidad de un conjunto de $X$, que por supuesto es un número cardinal. $|X| \times |Y|= |X \times Y|$ Y $|X| + |Y| = |X + Y|$.