¿Cómo obtener la inversa de una función?

Question

Estoy tratando de solucionar esto

$$f(x)= \frac{-5} {x^2 + 1}$$

La solución es

$f^{-1} = \pm\frac{\sqrt{-x-5}} {\sqrt{x}}$

He hecho $$x = \frac{-5} {y^2 + 1}$ $ $${(x)(y^2 +1)} = {-5} $ $ $${y^2 +1} = {\frac{-5}{x}} $ $ $${y^2} = {\frac{-5}{x} - 1} $ $ $${y} = \sqrt{\frac{-5}{x} - 1} $ $

Pero no consigo la respuesta final como yo puede ver, necesito usar la inversa para obtener el rango de la función original, puede alguien por favor me guies en como resolver este ejercicio

Answer 1

Usted ha mencionado que desea encontrar el rango de la función original. Para ello, recordemos que una fracción se hace más grande en valor absoluto como el denominador se hace más pequeño. Pero la función siempre toma valores negativos, por lo que su mínimo (si tiene uno) se producirá cuando el denominador es tan pequeño como sea posible. $x^2+1$ es mínimo en $x=0$, lo que le da la mínima como

$$\frac{-5}{0^2+1}=-5$$

No, de hecho no hay valor máximo de la función, debido a que el denominador puede ser arbitrariamente grande, y la función tendrá arbitrariamente cerca de $0$ desde el lado negativo, pero en realidad nunca llegar a él. Por lo que el intervalo, en notación de intervalo, es $$[-5,0)$$

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Como la inversa de la que se encuentra, no coincide con la respuesta final, porque se olvidó de considerar el negativo de la raíz para $y$ en

$$y^2 = \frac{-5}{x}-1$$

Las dos raíces son

$$y = \pm \sqrt{\frac{-5}{x}-1}$$

Esto es equivalente a la respuesta:

$$y = \pm \sqrt{\frac{-5}{x}-1} = \pm \sqrt{\frac{-5}{x}+\frac{-x}{x}} = \pm \sqrt{\frac{-x-5}{x}}$$$$$$

Usted puede usar la función inversa para obtener el mismo resultado para el rango de la función original, el uso de dos ideas: si estás trabajando en los números reales, no se puede dividir por cero, y usted no puede tomar la raíz cuadrada de un número negativo.