Definición matemáticamente precisa de transformación covariante y contravariante

Question

Intento comprender el significado de "transformación covariante" y "transformación contravariante" y cómo se relacionan. He leído las Wikipedia artículo y sigo sintiendo que no puedo enunciar, con precisión matemática, la definición de estos términos.

El artículo de Wikipedia afirma que una transformación covariante, en el contexto de un espacio vectorial, es aquella que "describe nuevos vectores base en términos de vectores base antiguos". No es una definición satisfactoria, a menos, claro está, que ninguna otra transformación pueda describirse como "covariante". Sin embargo, he visto que la palabra "covariante" se utiliza para describir otro tipo de transformaciones como "covariantes". En concreto, la definición "física" de transformaciones co/contravariantes, en las que los componentes se transforman como tal y tal (lo cual no tiene ningún sentido matemático para mí). Esto lleva a pensar que las transformaciones co/contravariantes se definen siempre en términos de derivadas de cambios de coordenadas y no creo que sea así.

Entiendo lo que son los tensores co/contravariantes, al menos desde una perspectiva matemática, por lo que no se trata de una cuestión sobre los significados de "tensor contravariante" o "tensor covariante"; de hecho, estos conceptos han sido bien explicados aquí .

Mi pregunta entonces, en resumen, ¿Cuáles son las definiciones lúcidas, autocontenidas y matemáticamente precisas de "transformación covariante" y "transformación contravariante"? ? Una referencia a tales definiciones también funcionaría de maravilla.

Answer 1

No creo que "transformación contravariante" sea terminología establecida en física.

El problema con "covariante" es que, en física, tiene una amplia gama de significados, empezando por "que no implica opciones no naturales" hasta la definición que se ve en geometría diferencial motivada por la relatividad general, que es:

Para una variedad real lisa de Riemann $M$ un tensor $T$ de rango $\frac{n}{m}$ es una función lineal que toma como entrada n formas 1 y m vectores tangentes. Cuando se elige un gráfico de coordenadas y bases duales en el espacio cotangencial $d x_n$ y en el espacio tangencial $\partial_n$ con respecto a este gráfico, entonces el tensor tiene funciones coordenadas de la forma

$$ T^{\alpha, \beta, ...}_{\gamma, \delta,...} = T(d x_{\alpha}, d x_{\beta}..., \partial_{\gamma}, \partial_{\delta}...) $$

Con respecto a estas bases, un índice de abajo se llama covariante, un índice de arriba se llama contravariante. Ahora bien, una "ecuación covariante" u "operación covariante" es aquella que no cambia su forma ante un cambio de coordenadas, lo que significa que si cambias de coordenadas y aplicas el cambio de coordenadas a todos los índices covariantes y contravariantes de cada tensor de tu ecuación, entonces tienes que obtener la misma ecuación, pero con "índices con respecto a las nuevas coordenadas".

Un ejemplo sencillo sería: $$ T^{\alpha}_{\alpha} = 0 $$ con la convención de suma de Einstein: Cuando se utiliza el mismo índice para una covariante y una contravariante, se entiende que se debe sumar sobre todos los índices de un par de bases duales.

Los físicos dirían que esta ecuación es "covariante" porque tiene la misma forma en todos los gráficos de coordenadas, es decir, cuando aplico un difeomorfismo obtengo

$$ T^{\alpha'}_{\alpha'} = 0 $$ con respecto a las nuevas coordenadas. Nótese que, puesto que hablamos de relatividad general, el tipo de transformaciones se fija implícitamente en ser cambios de cartas sobre una variedad real lisa. Como he dicho antes, cuando los físicos hablan de diferentes teorías, pueden hablar implícitamente de otros tipos de transformaciones. (Puede que te hayas encontrado con algún físico que dijera "transformación covariante" cuando quería decir "cambio de coordenadas", pero yo personalmente, no me he encontrado con este uso del lenguaje).

Answer 2

Por lo que puedo deducir del artículo de Wikipedia, "transformación covariante" sólo significa "la acción inducida de una transformación lineal ". $f : V \to V$ sobre tensores covariantes" y "transformación contravariante" sólo significa "la acción inducida de una transformación lineal $f : V \to V$ en tensores contravariantes".

Pero aparentemente un tensor covariante es un elemento de $(V^{\ast})^{\otimes n}$ para algunos $n$ y un tensor contravariante es un elemento de $V^{\otimes n}$ para algunos $n$ lo que me parece un poco al revés. Tal vez debería decir que un tensor covariante es una función multilineal $V^n \to k$ y un tensor contravariante es una función multilineal $(V^{\ast})^{\otimes n} \to k$ .