Incrustación de $G$ $G/N \times A$ pequeño grupo $A$

Question

Que $G$ ser un grupo finito y que $N \unlhd G$ un subgrupo normal de $G$. Me gustaría insertar $G$ $(G/N) \times A$ pequeño grupo $A$. Requiero la incorporación al mapa $g \in G$ $(gN, a_g)$ $a_g \in A$. ¿Cuál es el % menor $A$puedo tomar?

Answer 1

Siempre se puede tomar Un = G, y a menudo no se puede hacer mejor. Si G es cíclico de orden 4 y N es la normal subgrupo de índice 2, entonces el más pequeño de Una que funciona es, por supuesto, G, ya que G/N × Un debe, al menos, tiene un elemento de orden 4.

Otro tonto caso:

• Cuando N = 1, siempre se puede tomar Un = 1.
• Cuando N = G, la minimización de la elección es Un = G.

Considerar la homomorphism φ de G a G/N × Un dado por g → ( gN, f(g) ). Observe que f debe ser un homomorphism de G a Una. ¿Qué es el kernel de φ? Es sólo la intersección de que el núcleo de f con N. por lo tanto tomamos Un ser mínimo entre todos los G/M , donde M ∩ N = 1.

Por ejemplo, si G es un p-grupo cíclico centro y N ≠ 1, Un = G es mínima. Si G es diedro de orden 2p y N ≠ 1, Un = G es mínima. Si G es diedro de orden 2pq y N es de orden p, entonces uno puede tomar Un ser diedro de orden 2p, que es M ha pedido q. Aquí p ≠ q son distintos de los números primos impares.

En particular, si N contiene el zócalo de G, entonces Un = G es mínima. Lo contrario también es, ya que de lo contrario M ser un mínimo normal subgrupo no contenida en el N de trabajo para Un = G/M.