Dejar $f(X,Y) = X^2 + Y^2 - c$. ¿Existe un campo$F$ tal que$f(X,Y) = \prod_{i=1}^n(a_1^i X + a_2^i Y + a_3^i)$, donde$a^i$ están en$F$?
Respuestas
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No. El cero, el locus de un producto como $$ \prod_{i=1}^n(a_1^iX+a_2^iY+a_3^i) $$ es la unión de las líneas de $$ a_1^iX+a_2^iY+a_3^i=0. $$ Por otro lado, el cero, el locus de $X^2+Y^2-a$ es un círculo de radio $\sqrt a$. Un círculo no es una unión de líneas no importa cómo convertir las coordenadas.
Usted puede aplicar la teoría de la división de los campos y tal, pero luego sólo se puede tener una sola variable. Las otras variables deben ser incluidos en el campo! Así que usted puede hacer lo siguiente. Deje $K=\mathbb{Q}(X)$ a ser el campo de funciones racionales de la variable $X$. Usted puede ver $f$ como un polinomio cuadrático en el ring $K[Y]$. A continuación, $f$ tiene una división de campo $$K_f=K[\sqrt{c-X^2}],$$ es decir, necesita unirse a una raíz cuadrada de un elemento de $K$.
Shery
Puntos
16
Sí, aunque probablemente no en la forma que usted desearía. Si pones $F={\bf Q}(X,Y)$,$f(X,Y)\in F$, y su condición es extremadamente satisfecho.
Para más significativos de la pregunta, usted podría preguntar si hay un campo $F$ de los característicos $0$ tal que $X,Y$ son trascendentes sobre $F$ $f$ factores en términos lineales sobre $F[X,Y]$. En cuyo caso, Jyrki la respuesta es, probablemente, la manera correcta de ver.
Una manera diferente de mostrar que no es posible para $c\neq 0$ es por cálculo directo, por ejemplo con dos términos lineales (otros casos podemos descartar por grado consideraciones):
- Supongamos que de lo contrario se e $X^2+Y^2-c=(a_1X+b_1Y+c_1)(a_2X+b_2Y+c_2)$. Esto significa que $a_1a_2=b_1b_2=1,c_1c_2=-c$ etc.
- Sin pérdida de generalidad $a_1=1$ (podemos multiplicar el segundo término lineal por $a_1$ y la primera por $a_1^{-1}$). A continuación, $a_2=a_1^{-1}=1$ (mediante el examen de la $X^2$ plazo).
Además, si nos fijamos en $XY$ plazo, tenemos que $a_1b_2+b_1a_2=b_1+b_2=0$, y por $Y^2$ plazo $b_1\neq 0$.
Ahora, nos fijamos en $X$ $Y$ términos. Ellos nos dan la $a_1c_2+c_1a_2=c_1+c_2=0$$(b_1c_2+c_1b_2)=b_1(c_2-c_1)=0$. Esto implica que $2c_1=0$, por lo que ya no es una característica $2$, $c_1=c_2=0$ y $c=0$. Este hecho es posible, como hemos $X^2+Y^2=(X+iY)(X-iY)$.
La misma prueba funcionará para cualquier campo de la característica $\neq 2$. En el carácter $2$,$X^2+Y^2-c=(X+Y+\sqrt c)^2$.
