Problema sobre la convergencia de la norma del operador y la compacticidad de un operador.

Question

Problema-$1$ dado la secuencia de los operadores lineales continuos $T_n : l^2 \to l^2$ definido por el $$Tn(x) = (0, 0, \ldots, x{n+1}, x_{n+2}, \ldots)$$ for every $x \in l ^ 2 $. Then for every $x \neq 0$ in $l^2$ i want to check whether $| T_n|$ and $| ¿T_nx|$ converge to $0$ o no?

¿Problema-$2$ permita que el operador continua $T: l^2 \to l^2$ definido por el $$T_n(x) = (0, x_1, 0, x_3, \ldots,)$$ for every $x # = (x_1, x_2 \ldots) \in l ^ 2 $. To find whether $T$ es compacto o no?

Según me $(1)$, $$|Tnx|^2 = \sum{k = n+1}^{\infty} |xk|^2$$ Now as $x \in l ^ 2 $, so there exist $N \in \mathbb{N}$ such that $$\sum{k = N+1}^{\infty} |x_k|^2

Answer 1

Lo que usted hizo para el problema 1 es correcta (tal vez sería mejor decir que para cualquier positivos $\varepsilon$, existe un $N$ (...). Su cálculo muestra que $\left\lVert T_n\right\rVert\leqslant 1$. Considerando $x$ como el vector cuyas $(n+1)$th coordinar los es $1$ y todos los demás son cero, se puede mostrar el reverso de la desigualdad.

Para el problema 2, el rango de la unidad de bola contiene las colecciones de primaria vectores $e_{2i+1}$ donde $e_j$ es el elemento de la $\ell^2$ cuyas $j$-ésima coordenada es $1$ y todos los demás son cero. Es $\left\{e_{2i+1},i\in\mathbb N\right\}$ compact?

Answer 2

$||T_n x|| \to 0$ cada $x$, $||Tn e{n+1}||=1$ % que $||T_n|| \geq 1$para cada $n$. 2) la respuesta es no: $Te_1=e_2,Te_3=e4,...$ ${T{e{n+1}}}$ tiene ninguna subsequence convergente. Por lo tanto, $T$ no es compacto.