Estoy aprendiendo sobre las formas diferenciales, y tenía una pregunta sobre el empleo del teorema de Green para calcular el área. El teorema de Stokes generalizado dice que $\int_{\partial D}\omega=\int_D d\omega$ . Digamos que $D$ es una región en $\mathbb{R}^2$ . La fórmula conocida para calcular el área es $\iint_D 1 dxdy = \frac{1}{2}\int_{\partial D}x\,dy - y\,dx$ Y de hecho.., $d(x\,dy - y\,dx)=2\,dx\,dy$ . Pero, ¿por qué no se nos permite usar simplemente $\int_{\partial D}x\,dy$ ? No $d(x\,dy)=d(x)dy = (1\,dx + 0\,dy)dy = dx\,dy$ ?
Respuestas
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Vous peut utilice $\int_{\partial D} x\,dy$ para calcular el área en este contexto. La "fórmula familiar" tiene un aspecto más simétrico, tal vez por eso te resulta más familiar.
Hay infinitas fórmulas como ésta que funcionan. En general se necesitan dos funciones $P$ y $Q$ tal que $Q_x-P_y=1$ . Entonces $\int_{\partial D} P\,dx+Q\,dy$ calculará el área.
$P=-y/2$ y $Q=x/2$ da su fórmula conocida.
$P=0$ y $Q=x$ es la fórmula en cuestión.
También se puede utilizar $P=-y$ y $Q=0$ (es decir $\int_{\partial D} -y\,dx$ ) para calcular el área.
Esas 3 opciones son las estándar presentadas en los textos tradicionales de cálculo multivariante. Pero, por supuesto, hay infinitas opciones más.
Steven Gubkin
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Me gustaría señalar la integración $xdy$ para obtener el área tiene una interpretación geométrica natural: estás sumando las áreas de pequeños rectángulos horizontales. El signo de estas áreas viene determinado por si te mueves hacia arriba o hacia abajo, y por el signo de x. Haz un dibujo de una mancha salvaje, interséctala con una línea horizontal y observa cómo en cada punto de intersección obtendrás un rectángulo. Las áreas de estos rectángulos se anularán cuando no estés dentro de la mancha.
Aquí está mi mancha:
si estoy integrando $xdy$ alrededor de esta curva cerrada en la dirección indicada, entonces voy a moverme incrementalmente a lo largo de la curva un pequeño paso a la vez, y mantener una suma corrida de $x$ veces la pequeña distancia vertical que acabo de recorrer. Subir es una distancia positiva, bajar es una distancia negativa. Eso es sólo el área firmada de un pequeño rectángulo cuya longitud es mi posición actual hasta la $y$ -y cuya altura es la pequeña altura que acabo de recorrer.
Señalaré las zonas positivas con el color verde y las negativas con el rojo.
Este punto es positivo ya que estoy ascendiendo, y $x$ es positivo. Algún tiempo después vuelvo a la misma altura, pero a una $x$ valor.
Esta vez el área es negativa porque me estoy moviendo hacia abajo, y $x$ es positivo.
Más tarde estoy de nuevo en el mismo $y$ valor:
subiendo, x pos
bajando, ¡x negativo!
Juntando todo esto, tengo algo así:
Ahora el rojo y parte del primer rectángulo verde se anulan, y puedes ver que sólo tengo la zona de la franja horizontal que está dentro de la mancha: ¡las orientaciones han registrado automáticamente la diferencia entre dentro y fuera!
Esperemos que esta aplicación del teorema de Green ya no tenga tanto misterio.
