¿Cómo puedo mostrar que el polinomio $p = x^5 - x^3 - 2x^2 - 2x - 1$ es irreducible sobre $\Bbb Q$?

Question

He probado algunos "criterios" para verificar si esto es irreducible. Según Maple, solo tiene una raíz completamente real que sospecho que no es racional, pero no puedo probarlo, así que estoy intentando verificar si $p$ es irreducible.

El Criterio de Eisenstein no funciona aquí y aún no he encontrado una transformación adecuada para que funcione. También leí que si un polinomio es irreducible sobre $\Bbb F_q$, con $q$ un primo que no divide al coeficiente principal, entonces es irreducible sobre $\Bbb Q$, así que reduje el polinomio módulo $2$ para obtener

$$p \equiv x^5 + x^3 + 1 \mod 2.$$

Creo que esto es correcto, pero luego necesito saber cómo verificar la irreducibilidad de este nuevo polinomio sobre $\Bbb F_2$. ¿Simplemente necesito verificar que ni $0$ ni $1$ son raíces de este polinomio? (¿Y estoy aplicando este teorema correctamente?)

Si este polinomio ES irreducible sobre $\Bbb Q$, ¿se obtiene el campo de descomposición simplemente adhiriendo las raíces a $\Bbb Q$?

Answer 1

Un poco de búsqueda de buenos criterios de irreducibilidad arroja algunos resultados muy buenos:

Aquí hay un hermoso lema de (Prof.) Ram Murty:

Sea $f(x) = a_mx^m + ... + a_1x + a_0$ un polinomio de grado $m$ en $\mathbb Z[x]$. Sea $H = \displaystyle\max_{0 \leq i \leq m-1} \left|\frac{a_i}{a_m}\right|$. Si $f(n)$ es primo para algún $n \geq H+2$, entonces $f(x)$ es irreducible en $\mathbb Z[x]$.

Te dejo el enlace : http://cms.dm.uba.ar/academico/materias/2docuat2011/teoria_de_numeros/Irreducible.pdf

En nuestro caso, $a_m = 1$, y el máximo de todas las cantidades en cuestión es $2$. Por lo tanto, si $f(n)$ es primo para algún $n \geq 4$, entonces hemos terminado.

Puedes comprobar que para $n=4$, el número $f(4) =919$, ¡que es primo!

Por lo tanto, se deduce que el polinomio es irreducible.

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APARTE : También hay una versión "desplazada" de la base (la base se desplaza de $0...n-1$ a $|b| < \frac n2$) del criterio de Cohn, que te dirá que si $f(10)$ es primo, entonces el polinomio dado es irreducible. Esto coincide con esa descripción, ya que todos los coeficientes están entre $-5$ y $5$. Muy interesantemente, $f(10) = 98779$ ¡también es primo! (Por lo tanto, otra prueba por otro resultado maravilloso).

Answer 2

Por el Lema de Gauss tenemos que el polinomio es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ si y solo si es irreducible sobre $\mathbb{Z}$. Ahora la forma más sencilla sería demostrar que el polinomio es irreducible sobre $\mathbb{Z}_2$, lo que sería suficiente.

Supongamos que es reducible. Como el polinomio no tiene raíces sobre $\mathbb{Z}_2$, la única posibilidad es que sea un producto de polinomios de grado $2$ y $3$. Así que supongamos que:

$$x^5 + x^3 + 1 = (x^3 + ax^2 + bx + c)(x^2 + dx + e) \quad \quad \text{en } \quad\mathbb{Z}_2$$

Luego multiplicamos todo y comparamos los factores. Como $a,b,c,d,e \in \mathbb{Z}_2$, solo hay dos opciones. Eventualmente obtendrás que $c=e=1$ y $a=d=b$. Pero esto implicaría que $c+bd + ea = a^2 + a + 1 = 1$ en $\mathbb{Z}_2$. Pero esto es imposible, ya que es el coeficiente frente a $x^2$ y debería ser $0$.

Por lo tanto, el polinomio es irreducible sobre $\mathbb{Z}_2$ y finalmente sobre $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{Q}$

Answer 3

Su prueba está casi completa: de hecho, es suficiente probar que $p(x)\in \mathbb F_2[x]$ (la reducción módulo 2 de su polinomio) es irreducible.
El polinomio $p(x)$ no tiene ningún factor de grado 1 ya que no tiene ceros en $\mathbb F_2$, así que solo queda demostrar que $p(x)$ no tiene ningún factor que sea un polinomio irreducible $g(x)\in \mathbb F_2[x]$ de grado 2.
Pero el único polinomio irreducible de este tipo es $g(x)=x^2+x+1$ y la división larga demuestra que no divide a $p(x)$. Todo está demostrado.

Answer 4

Según el teorema de la raíz racional, cualquier raíz raciona de $p$ tendría que ser un divisor del término constante, por lo que $\pm1$. Claramente, estos no son raíces.

De manera similar, cualquier factor cuadrático tendría que ser $x^2+ax\pm1$ con $a\in\Bbb Z. Puede que puedas excluir estos manualmente ...