Liquidación número integral/index en avión

Question

Deje $B(x_0,y_0)$ haber una unidad de disco. Suponga que $F(x,y)=(f_1 (x,y),f_2 (x,y)):\overline{B(x_0,y_0)}\rightarrow \mathbb{R}^2$ es un diffeomorphism. Suponga también que el $F(x,y) \ne (s_0,t_0) $, para todos los $(x,y)\in \partial B(x_0,y_0)$.

¿Cuál es la primaria a la hora de evaluar el resultado siguiente?

$$\frac{1}{2\pi}\int_{\partial B(x_0,y_0)}\frac{(f_1-s_0) df_2-(f_2-t_0)df_1}{(f_1-s_0) ^2+(f_2-t_0) ^2}=sign \det F'(x_0,y_0)=±1. $$

Esto puede ser demostrado mediante Verde del teorema y, a continuación, el cambio de las variables de la fórmula? Desde $F$ es un diffeomorphism, debido al teorema de la función inversa $\det F'(x,y) \ne 0$, para todos los $(x,y) \in B(x_0,y_0)$, y por Jordania teorema de la curva de $F(\partial B(x_0,y_0))$ es una de la curva de Jordan. Por lo tanto interior dominio es simplemente conectados y podemos usar el Verde del teorema. Pero no estoy seguro de cómo calcular la integral.

Answer 1

Suponga que $B$ es un disco con centro de ${\bf z}_0$ $(x,y)$- plane, que $$f:\quad \bar B\to{\Bbb R}^2, \qquad (x,y)\to(u,v):=\bigl(f_1(x,y),f_2(x,y)\bigr)$$ es un diffeomorphism, y que ${\bf 0}\notin f(\partial B)$. Entonces $$N:={1\over2\pi}\int_{\partial B}{f_1\>df_2-f_2\>df_1\sobre f_1^2+f_2^2}= \left\{\eqalign{{\rm sgn}\bigl(J_f({\bf z}_0)\bigr)&\qquad\bigl({\bf 0}\in f(B)\bigr)\cr 0\qquad&\qquad\bigl({\bf 0}\noen f(B)\bigr) \cr}\right.$$ Prueba. Considere el campo vectorial $${\bf A}(u,v):=\left({-v\over u^2+v^2}, \>{u\over u^2+v^2}\right)=\nabla\arg(u,v)$$ en el perforado $(u,v)$-plano. Yo reclamo que $$N={1\over2\pi}\int_{f(\partial B)}{\bf A}\cdot d{\bf w}\ .\tag{1}$$ Subproof. Vamos $$t\mapsto\bigl(x(t),y(t)\bigr)\qquad(0\leq t\leq T)$$ be a parametrization of $\parcial B$. Entonces $$t\mapsto {\bf w}(t):=\bigl(f_1\bigl(x(t),y(t)\bigr), f_2\bigl(x(t),y(t)\bigr)\bigr)\qquad (0\leq t\leq T)$$ es una parametrización de $f(\partial B)$. De ello se sigue que $$\eqalign {y\int_{f(\partial B)}{\bf A}\cdot d{\bf w} =\int_0^T\left({-f_2\sobre f_1^2+f_2^2}\bigg|_{{\bf w}(t)}\dot u(t)+ {f_1\sobre f_1^2+f_2^2}\bigg|_{{\bf w}(t)}\dot v(t) \right)\ dt\cr &=\int_0^T \left({-f_2\sobre f_1^2+f_2^2}\bigl(f_{1.1}\dot x(t)+f_{1.2}\dot y(t)\bigr)+ {f_1\sobre f_1^2+f_2^2}\bigl(f_{2.1}\dot x(t)+f_{2.2}\dot y(t)\bigr)\right)\>dt \cr &=\int_{\partial B}{f_1\>df_2-f_2\>df_1\sobre f_1^2+f_2^2}\quad.\qquad\square\cr}$$ Tenga en cuenta que $${\rm curl}\>{\bf A}(u,v)\equiv0\ .$$ Al ${\bf 0}\notin f(B)$ podemos aplicar el Verde del teorema de la $(1)$ y obtener $$N={1\over2\pi}\int_{f(\partial B)}{\bf A}\cdot d{\bf w}={1\over2\pi}\int_{f(B)}{\rm curl}\>{\bf A}(u,v)\>{\rm d}(u,v)=0\ .$$ Al ${\bf 0}=f({\bf p})\in f(B)$ presentamos $B':=B\setminus B_\epsilon({\bf p})$ y aplicar el teorema de Green $f(B')$. A continuación, obtener $$N={1\over2\pi}\int_{f(\partial B)}{\bf A}\cdot d{\bf w}={1\over2\pi}\int_{f(\partial B')}{\bf A}\cdot d{\bf w}+{1\over2\pi}\int_{f(\partial B_\epsilon)}{\bf A}\cdot d{\bf w}\ .$$ Desde el primer término en el lado derecho se desvanece tenemos $$N={1\over2\pi}\int_{f(\partial B)}{\bf A}\cdot d{\bf w}={1\over2\pi}\int_{f(\partial B_\epsilon)}{\bf A}\cdot d{\bf w}\ .$$ Ahora $f(\partial B_\epsilon)$ es una pequeña elipse alrededor de ${\bf 0}$, y un adecuado limitar el argumento debe demostrar que $N= {\rm sgn}\bigl(J_f({\bf z}_0)\bigr)$ en este caso.