Solucionar $\ddot\theta +k\sin(2\theta)=0$ valor inicial y restricciones

Question

¿Cómo es posible deducir, a partir de la ecuación $$\ddot\theta +k\sin(2\theta)=0$$ where $\theta=\theta(t)$ and $\tan(\theta)={b(t),\más de un(t)}$, $k$ is constant, and $a(0)=a_0$, $a(t)^2+ b(t)^2=a_0^2$. que $a(t)=a_0\operatorname{sech}(c t)$ donde $c$ es una constante?

Gracias

Answer 1

El comentario que añade, que $a^2 + b^2 = a_0^2$, hace las cosas mucho más razonable. Tenga en cuenta que ya, que esto produce $$ \tan^2\theta = \frac{b^2}{a^2} = \frac{a_0^2 - a^2}{a^2} = \frac{a_0^2}{a^2} - 1 ~~, $$ y como $\tan^2\theta + 1 =\sec^2\theta$ , $\sec\theta = a_0/a$ o $a = a_0 \cos \theta$ .

Como para la ecuación diferencial, se puede reducir el orden de una vez utilizando el truco de "integrar a un cuadrado'; no está seguro de lo que el / cualquier nombre formal es. Multiplicar por $\dot\theta$ encontrar que $$ \dot\theta \ddot\theta = -k \dot\theta\sin(2\theta) ~~. $$ Tomando nota de que ambos lados son perfectos diferenciales, integrar con respecto a $\theta$, incluyendo la constante: $$ \frac{1}{2}\dot\theta^2 = \frac{k}{2}\cos(2\theta) + c ~~. $$ Un doble ángulo para el coseno es $\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1 = 2a^2/a_0^2 - 1$. Por lo tanto, la absorción de las constantes, $$ \dot\theta^2 = \frac{2k}{a_0^2}a^2 + c ~~. $$ Tenga en cuenta que $\dot a = -a_0 \dot\theta \sin \theta$ , y por lo $\dot a^2 = \dot\theta^2 (a_0^2 - a^2)$. Ahora, en este punto tengo que hacer la indebida asunción de que se le ha dado una pieza adicional de información que nos permitiría forzar $c = 0$; de lo contrario, la solución no es fácil en absoluto. La conexión de estas piezas, ahora tenemos que $$ \frac{a_0}{\sqrt{2k}}\frac{\dot un} {\sqrt{a_0^2-a^2}} = 1 ~~. $$ Wolfram o un libro de texto que se confirme que el lado izquierdo tiene la misma forma que la derivada de arco secante hiperbólica (asumiendo $a\ge 0$), y la integración de, precisamente, nos encontramos con que $$ \text{asech}\left(\frac{a}{a_0}\right) = \sqrt{2k} t + C ~~, $$ para algunos de los nuevos constante $C$. Usando la condición inicial para $a$ rendimientos $C = 0$, por lo que finalmente $$ a = a_0 ~\text{sech} (\sqrt{2k} t) ~~. $$