La relevancia de las estadísticas de orden para el roll-y-mantener dados mecánico?

Question

Lanzar $x$ dados, cada uno de los cuales ha $z$ lados, mantener el $y$ los valores más altos de rodar, y encontrar la suma de $s$. En juegos de rol, este es llamado un "rollo y mantener dados mecánico" y escribe "$x$d$z$k$y$" o, quizás, "$x$k$y$" si el número de lados $z$ se entiende. Vamos (capital) $S$ ser la variable aleatoria para la suma de los $y$ más alto de los dados, y vamos a (minúscula) $s$ ser el observado suma de los $y$ más alto de los dados.

Una combinatoria de la fórmula para la probabilidad de masa funtion $f$ para esta distribución fue derivado por un usuario llamado "techmologist" más en PhysicsForums: Desconcertante "rollo de dados X, Y elegir la más alta del problema" .

El pmf es

$ f(s) = $ $$\sum_{r=1}^{z}\sum_{i=0}^{x-y}\sum_{j=x-y-i+1}^{x-i}{x \choose i,j,x-i-j}(r-1)^i N(s+i+j-x-ry; x-i-j, z-r-1) $$

donde $N$ es el número de maneras de distribuir la $B$ bolas indistinguibles entre $C$ de las células, de manera que cada célula tiene entre 0 y $D$ bolas, es decir,

$$ N(B;C,D) = \sum_{k=0}^{\lfloor B/(D+1) \rfloor} (-1)^k \binom{C}{k} \binom{B-k(D+1) + C-1}{C-1} $$

Mi intuición es que podría ser una manera más simple de expresar esta mecánica el uso de estadísticas de orden. Deje $Z_1,Z_2,\ldots,Z_x$ ser el desordenada de las variables aleatorias de la $x$ iid lanzamientos de dados, que son cada uniforme discreta de las distribuciones de los valores de tipo integer $\{1, 2, \ldots, z \}$. Y deje $1 \leq Z_{1:x} \leq Z_{2:x} \leq \ldots \leq Z_{x:x} \leq z$ ser el orden de las estadísticas, de manera que, por ejemplo, $Z_{x:x}$ es la r.v. en representación de máximo de rollo de la $x$ dados.

En apoyo de mi intuición, se puede demostrar que

$ E(S) = E(Z_{(x-y+1):x} + Z_{(x-y+2):x} + \ldots + Z_{(x-1):x} + Z_{x:x}) $

Por ejemplo, para el 4d6k3 de distribución, la media es 15869/1296 (o 12.2446). Y esto puede ser verificado (con bastante facilidad en Mathematica) mediante techmologist del cominatorial fórmula o utilizando el valor esperado de la suma de los tres más altos de estadísticas de orden que se muestra por encima o por enumerar todos los resultados o mediante la simulación de un gran número de lanzamientos de dados.

Sin embargo,

$ S \not= Z_{(x-y+1):x} + Z_{(x-y+2):x} + \ldots + Z_{(x-1):x} + Z_{x:x} $ (INCORRECTO)

EDIT: Gracias a Douglas Zare para explicar que el LHS y RHS de hecho son iguales... Esto me ayudó a darme cuenta de que mi confusión era que el pmf de S no puede ser calculado fácilmente tomando la convolución de la fmp de la segunda a través de la cuarta estadísticas de orden, porque el orden de las estadísticas no son independientes RVs. Y eso nos lleva a una pregunta de seguimiento: En un caso como este, ¿cómo podría usted encontrar la convolución de la fmp de las estadísticas de orden en el lado derecho, dado que el fin de las estadísticas no son independientes RVs? Voy a pensar de una mejor manera la frase de esta pregunta y publicar por separado. Gracias de nuevo!

La pregunta es si mi intuición es correcta: ¿hay alguna manera de expresar el pmf $f$ $S$ en términos de la fmp de las estadísticas de orden? Y si no, ¿qué hay de malo con mi intuición de que debe haber alguna manera fácil de calcular el pmf $f$ de la fuerza de las estadísticas de orden?

Por CIERTO, esta no es la tarea. Yo sólo soy una jugadora de rol, no un estadístico, tratando de satisfacer mi curiosidad si este dados mecánico puede ser analizado y expresado de manera más simple el uso de estadísticas de orden. Gracias.

Answer 1

La relación es simple: $S = Z_{(x-y+1):x} + ... + Z_{x:x}$. Esto debería hacer que un sentido lógico: La suma de la parte superior $k$ dados es el más alto de morir plue el segundo más alto de morir, etc. abajo a la $k$th más alto de morir. Si usted todavía cree $S \ne Z_{(x-y+1):x} + ... + Z_{x:x}$, intentar exponer un rollo de los dados, de modo que la suma de la parte superior $k$ dados no es igual a la mayor de morir más el segundo más alto etc. además de la $k$th más alto.

El fin de las estadísticas sólo son independientes de trivial constante de las distribuciones. Ellos no son independientes aquí. Desde los sumandos no son independientes, no se puede usar TransformedDistribution en Mathematica. Consulte la documentación que dice "TransformedDistribution representa una transformación de la distribución, donde , , ... son independientes y siga las distribuciones , , ...." Esta es la razón por la distribución de calcular por el lado derecho no es correcto.

Debido a la dependencia, no se puede determinar la distribución de la suma de las distribuciones de los sumandos. Lo mismo es cierto en mucho más simple de los casos. Si $X_0$ $X_1$ ambos $1$ con una probabilidad de $1/2$ $0$ con una probabilidad de $1/2$, entonces es posible que $X_0 = 1-X_1$, de modo que $X_0 + X_1$ es la constante de $1$. También es posible que $X_0 = X_1$, de modo que $X_0+X_1$ $0$ con una probabilidad de $1/2$ $2$ con una probabilidad de $1/2$. También es posible que $X_0$ $X_1$ son independientes, de modo que $X_0+X_1$ toma los valores de $0,1,2$ con probabilidades $1/4,1/2,1/4$, respectivamente.

Sin embargo, $S = Z_{(x-y+1):x} + ... + Z_{x:x}$. La expectativa es lineal, independientemente de si los términos son independientes, por lo $E(S) = E(Z_{(x-y+1):x}) + ... + E(Z_{x:x})$.

He pensado acerca de la expresión de la distribución de $S$, y sigo teniendo la misma expresión que techmologist hizo (con el corregido límite superior he editado). Estadísticas de orden para distribuciones discretas son sucios, así que no esperes encontrar una gran simplificación mediante el uso de ellos.